Cv\ 6) угловой скоростью вращения планеты со; 7) ускорением силы тяжести планеты g\ 8) массой т столба газа планетной атмосферы, имеющего единичную площадь основания. Размерности этих параметров в классе систем MLTQ (6 - размерность температуры) таковы:

[c,] = lc,] = LTQ-; [со] = Г-ь ML.

Как видно, в данном случае дг = 8, k = 4. Таким образом, в задаче имеются четыре параметра подобия:

Пз = т/гсрдо; = с/с, = у.

Первый параметр - вращательное число Маха - с точностью до множителя порядка единицы равен отношению скорости вращения планеты на экваторе к скорости звука. В самом деле, скорость звука с при равновесной температуре Te={q/o)* равна

/СрТе{у- 1). Далее по традиции вместо параметров Пг и Пз рассматриваются обратные им величины Tlg = H~ и Пм = 14~. Параметр представляет собой с точностью до множителя уЦу- 1) отношение высоты однородной атмосферы для данной планеты {Ср - Cv)Te/g к ее радиусу г. Параметр Им - так называемый энергетический критерий подобия - определяет меру тепловой инерции атмосферы планеты.

Таким образом, основными критериями подобия, определяющими глобальные свойства планетных атмосфер являются параметры Пь и Пм. Значения этих параметров для планет Солнечной системы приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Из таблицы видно, что значения и Пм для всех планет малы. Поэтому Г. С. Голицын [34] сделал предположение, что значения этих параметров несущественны для глобальной характеристики планетной атмосферы. Напротив, параметр П1 меняется в широких пределах: для Венеры он мал, для Земли и Марса -

около единицы и, наконец, для планех-гигантов Юпитера и Сатурна велик. Поэтому считается [34], что именно по величине вращательного параметра подобия IIi следует классифицировать планетные атмосферы.

Для медленно вращающихся планет с плотной атмосферой (Венера, в известном приближении Земля) все три определяющие параметра подобия малы: П1<1; П<С1; Пм<1. Поэтому Голицын [34] полагает, что соответствующие размерные параметры g, О), т несущественны. Это позволило ему предложить простую формулу для полной кинетической энергии атмосферной циркуляции Е, Действительно, поскольку при сделанных предположениях E = f{q, Ср, г, а, у) анализ размерностей дает по стандартной процедуре

Е = 2ягсрдоФ (7), (1.33)

где множитель 2я введен для удобства. Формула Голицына (1.33) позволяет оценить среднюю скорость атмосферных движений. Действительно, E = 2nrmUy откуда с учетом (1.33) находим

U = iEI2nrmy = [0{y)/{y--l)fnIic, (1.34)

где с - скорость звука. Как видно, с точностью до множителя, зависящего от у, параметр Пм для медленно вращающихся планет с плотной атмосферой равен квадрату числа Маха. В книге Голицына [34] приведены данные, показывающие, что формулы (1.33) и (1.34) дают правильный порядок величины скорости ветра для Венеры, Земли и Марса.

Приведенные примеры показывают, что соображения размерности играют определяющую роль в установлении правил моделирования и критериев подобия. При моделировании, как и при любом применении анализа размерностей, в тех случаях, когда отсутствует точная математическая формулировка задачи, самое главное - правильно выбрать систему определяющих параметров. Нередко (см., в частности, последний пример) поступают так: берут в качестве определяющих параметров все величины, которые могут, по мнению исследователя, оказывать влияние на явление, хотя бы гипотетически. В качестве определяющих параметров с независимыми размерностями берут заведомо существенные определяющие параметры, а при выборе остальных смотрят на численное значение соответствующих параметров подобия Пг. Если эти значения очень малы или очень велики, соответствующий размерный параметр ak+i считается несущественным и выбрасывается.

Действительно, во многих случаях так поступать можно. Однако важно, что это, вообще говоря, не так, и к подобному способу рассуждения нужно относиться с большой осторожностью. Нужно видеть в нем не доказательство возможности пренебрежения тем или иным параметром, а сильную гипотезу. Последнее утверждение по сути тривиально: ниоткуда не следует, что при малых или больших значениях аргумента Пг функция Ф(П1, ...

Ili, Пп-fe) стремится, к определенному и притом конечному пределу. Существование такого предела (на самом деле еще и достаточно быстрое к нему стремление) только и может оправдать отбрасывание определяющего параметра, если соответствующий ему параметр подобия очень велик или очень мал. Дальнейшее изложение покажет нам, что подобная грубость в анализе может привести к крупным просчетам.

Глава 2

ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ К ПОСТРОЕНИЮ ТОЧНЫХ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ

2.1. Сильные тепловые волны

Анализ размерностей позволяет в определенных случаях получить при помощи вполне стандартного приема точные частные решения сложных задач математической физики, приводящих к начальным, краевым или смешанным задачам для уравнений или систем уравнений в частных производных. Эти решения выражаются через решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Представление об общем методе применения анализа размерностей к получению точных частных решений можно получить на примере явлений, возникающих на начальных стадиях ядерного взрыва в газе - тепловой и газодинамической М.ы изложим здесь решения соответствующих предельно схематизированных задач, хотя эти решения хорошо известны и не раз излагались, и сделаем это по двум причинам. Во-первых, на этих решениях хорошо демонстрируется применение метода анализа размерности. Во-вторых, и это наиболее важно, мы явно укажем здесь на некоторые, обычно не оговариваемые, а на самом деле очень существенные предположения, которые делаются при формулировке соответствующих задач. Эти предположения справедливы для конкретных задач, рассматриваемых в настоящей главе. Однако, как мы увидим дальше, небольшое усложнение рассматриваемых задач, казалось бы, на первый взгляд, оставляющее соображения анализа размерности неизменными, сделает эти предположения неприме-

* Подробное рассмотрение физики газодинамических явлений при сильном взрыве можно найти в монографии Я. Б. Зельдовича и Ю. П. Райзера [48]. О таких же явлениях, происходящих при воздействии на вещество сфокусированного лазерного импульса, см. в монографии Ю. П. Райзера [89].