Резка промышленных проемов: www.rezkabetona.su 
Навигация
Популярное
Публикации «Сигма-Тест»  Промежуточная асимптотика (развивающееся направление) 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 [ 74 ] 75 76 77 78 79 80 81 82

Поступим здесь вполне аналогично решению задачи о нелинейном мгновенном тепловом источнике в главе 2. Решение h уравнения (12.94) при начальном условии (12.96) зависит от величин t - tiy Ку V и г. Анализ размерности показывает, что решение автомодельно и представляется в виде

ft = \У12пп {t t,)f f (С); С = r/[Vn {t ~ /0/16я]. (12.97)

Подставляя (12.97) в уравнение (12.94), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для функции f

dfVdZ + (1/С) + (С/10) df/dZ + (1/5) f = 0. (12.98)

Умножая (12.98) на С, получаем уравнение в полных дифференциалах. Интегрируя это уравнение и используя для определе-


г/rod)

Рис. 12.15. Форма пятна перемешанной жидкости на вязкой стадии близка к диску.

ния констант условия (12.95) и (12.96), находим простое выражение для функции /:

lo при о Со =1072 2.

Таким образом, пятно в каждый момент имеет конечный радиус Го (О и в этом состоит специфика нелинейности, отличающая уравнение (12.92) от линейного уравнения теплопроводности (ср. главу 2). Радиус пятна определяется соотношением

ro{t) = 2[V\{t-U)l\n] с-0,55К/%-/ [N\t-U)\\ (12.100)

откуда следует, что он растет со временем крайне медленно. Для максимальной толщины пятна получаем выражение

А(0, 0 = № = (10/7бУ/Ч1/2ях(/-~/0] \yb[VvlN\t-t{)\\

(12.101)

так что ее изменение со временем также происходит крайне медленно. Любопытна форма сечения пятна, представленная в автомодельных переменных /г(г, t)/ho{t)y r/ro{t) на рис. 12.15. Толщина пятна повсюду почти постоянна и быстро уменьшается только вблизи самого края, так что пятно имеет явно выраженную дискообразную форму.



Аналогично, если форма пятна перемешанной жидкости близка к удлиненному цилиндру с горизонтальной осью, то для толшины пятна можно применить уравнение (12.93), где х -горизонтальная координата, нормальная к образуюшей цилиндра. Условие сохранения объема пятна перемешанной жидкости принимает в этом случае вид

со со

\ h(x, t)dx = S= \ h{x, 0)dA; = const, (12.102)

- со -со

где S - плошадь поперечного сечения пятна. Начальные условия, отвечаюшие промежуточно-асимптотическому решению типа мгновенного источника, записываются в форме

h(x, ti) = 0 при хфО; \ h{x, t{)dx = S, (12.103)

- со

а само это решение, которое получается вполне аналогично преды-душему, принимает вид

A= [slAyi{tU)]f,{lY l = x[s\{tU)l\%]-; (12.104)

Со = (15)/Ч2Г (5/4) Г (1/2)/Г (7/4) 3,62; А = (/15)/ 0,97, так что край пятна х=±Хо{1) распространяется по закону

0 (О = Со [SV [t - (12.106)

а максимальная толшина пятна убывает со временем по закону А (О, t)=h,{t) = A[slAyi{tt,)\l\ (12.107)

Промежуточные асимптотики (12.97) и (12.104) приводят к важному выводу: при переходе к вязкой стадии коллапса расширение пятна резко замедляется, так что на не слишком большом промежутке времени пятно может показаться наблюдателю неизменным.

Закон (12.100) расширения пятна перемешанной жидкости, круглого в плане, выглядит весьма просто и была желательной его экспериментальная проверка. Эта работа была выполнена в изящном лабораторном опыте А. Г. Зацепина, К. Н. Федорова, С. И. Воропаева, А. М. Павлова [39]. Эксперимент проводился по следующей схеме (рис. 12.16). В открытый плексиглазовый бак, заполненный линейно стратифицированной по плотности жидкостью медленно вводилась под уровень жидкости полая цилиндрическая



трубка. Жидкость в торцевой области трубки, отделенной неподвижным поршнем, перемешивалась специальной мешалкой, после чего успокаивалась, и трубка медленно поднималась вверх, освобождая пятно перемешанной жидкости, которое начинало внед-


Рис. 12.16. Схема лабораторной установки [39].

/ - бассейн со стратифицированной жидкостью, 2 - теневой прибор, 5 -стеклянная трубка, 4 - электродвигатель постоянного тока, 5 - мешалка, 5 -поршень, 7 - экран, 5 - фото- или киноаппарат.


Рис. 12.17. Фотография теневого изображения растекающегося перемешанного пятна [39].

ряться в окружающую стратифицированную жидкость. Визуальные наблюдения, фото- и киносъемка проводились с использованием теневого прибора. Экспериментальное устройство позволяло наблюдать и регистрировать две последние стадии коллапса пятна. Фотографии, подобные представленной на рис. 12.17, продемонстри-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 [ 74 ] 75 76 77 78 79 80 81 82



© 2010 www.sigma-test.ru Санкт-Петербург: +7 (812) 265-34-48, +7 (812) 567-94-10
Разработка и поддержка сайта: +7(495)795-01-39 после гудка 148651, sigma-test.ru(my_love_dog)r01-service.ru
Копирование текстовой и графической информации разрешено при наличии ссылки.