Во всех этих случаях размерность представляется степенным одночленом и это не случайно, размерность всегда представляет собой степенной одночлен. Этот факт следует из естественно формулируемого, но глубокого на самом деле утверждения (являющегося следствием фундаментального общефизического принципа ковариантности): внутри данного класса все системы равноправны, так что выбор исходной системы для характеристики данного класса не имеет значения.

Покажем это. Рассмотрим некоторый класс систем единиц измерения Р, Q, ... (Р, Q, ... обозначают символы М, L, Т и (или) другие им подобные). В силу равноправия систем внутри данного класса размерность любой величины а зависит только от величин Р, Q, . . ., т. е.

[а] = ср(Р, Q, ...). (1.4)

Если бы существовала некоторая избранная система внутри данного класса, то в число аргументов функции размерности входили бы также отношения величин основных единиц исходной системы к соответствующим единицам избранной системы. В силу принятого принципа равноправия систем единиц измерения внутри данного класса это не так. Аргументами функции размерности являются поэтому только величины Р, Q, ..., независимо от того, какая система принята за исходную.

Выберем в классе Р, Q, . . . три системы единиц: (0), (1) и (2), причем система (1) получается из системы (0) уменьшением основных единиц измерения в Pi, Qi, ... раз, а система (2) получается из системы (0) уменьшением основных единиц измерения в Р2, Q2, ... раз. В согласии со сказанным, при переходе от системы (0) к системе (1) численное значение рассматриваемой величины а увеличивается в 9(Pi, Qi, . ..) раз, при переходе от системы (0) к системе (2)-в ф(Р2, Q2, ...) раз. Отсюда следует, что численные значения величины а в системах (1) и (2) отличаются в ф(Р1, Qi, ...)/ф(Р2, Q2, . ..) раз. Далее, в силу равноправия систем внутри данного класса результат перехода от системы (2) к системе (1) зависит только от этих систем и не зависит от того, какая система принята за нулевую. Отношения же основных единиц измерения в системах (2) и (1) составляют соответственно Р1/Р2, Q1/Q2, .. поэтому численное значение величины а должно при этом переходе увеличиться в Ц){Р\/Р2, Q1/Q2, .. .) раз. Итак, мы вычислили изменение численного значения величины а при переходе от системы (2) к системе (1) двумя способами. Приравнивая результаты, получаем функциональное уравнение для функции размерности ф:

Ф(Рь Qi, ...) Pi Qi N

Это уравнение в естественном предположении, что размерность - гладкая функция, решается просто. Продифференцировав обе части по Pi и положив р = Р2 = Р, Qi = Q2 = Q, .. получим:

(1.6)

где а - постоянная, т. е. не зависящая от Р, Q,... величина. Интегрируя (1.6), находим:

Ф(Р, Q, ...)-=P\i{Q, ...), (1.7)

причем функция ф1 от Р уже не зависит. Повторяя рассуждение для остальных переменных, получаем:

Ф = [а] =pV ... ( )

(постоянный множитель, получающийся в конце концов в правой части, равен единице, поскольку при P = Q = ...= 1 система единиц измерения не меняется и изменения численного значения величины а также не происходит).

Итак, размерность физической величины всегда .выражается степенным одночленом. Говорят, что величины ai, ..., имеют независимую размерность, если размерность ни одной из этих величин нельзя представить в виде произведения степеней размерностей остальных величин. Например, размерности плотности ML, скорости LT~ и силы MLT~ независимы. Напротив, размерности плотности, скорости и давления MLT зависимы. Покажем, что всегда можно перейти к такой системе единиц измерения внутри данного класса PQ..., чтобы любая величина из набора величин с независимыми размерностями ai, ..., а, для определенности ai, изменила свое численное значение, увеличившись в произвольное число А раз, а остальные остались неизменными.

В самом деле, пусть размерности величин i,..ak в выбранном классе единиц измерения PQ... имеют вид

[a,]=P° Qp..., [a,]=pV*.... (1.9)

Мы строим по определению такую систему (ищем такие числа Р, Q, ...), чтобы выполнялись соотношения

pV...==, pV..-=l, PQ.. = 1. (1.10)

Логарифмируя, находим, что для логарифмов переходных множителей 1пР, InQ, ... получается система линейных алгебраических уравнений

ai 1пР -f Pi 1п Q + ... = In Л;

a2lnP + P2lnQ + ... =0;

alnP + PHnQ+ ... =0. (1.11)

Эта система всегда имеет по крайней мере одно решение. Действительно, число неизвестных 1пР, InQ, ... в ней заведомо не меньше числа уравнений, так как в противном случае размерности величин ai, ..., аи, выражающиеся через Р, Q, ... были бы, очевидно, зависимыми. Если число неизвестных больше

числа уравнений, то разрешимость системы (1.11) очевидна. Если же число неизвестных равно числу уравнений, то однозначная разрешимость системы (1.11) вытекает из того, что определитель

ai Pi... а2 Р2...

(1.12)

отличен от нуля, поскольку в противном случае размерности величин щ ..ak снова не были бы независимыми.

1.2. Анализ размерностей

Закономерности, определяемые в физической теории или в эксперименте, всегда можно представить в виде

a = f(ai, а+и д), (1.13)

где величины ai, ..., an носят название определяющих параметров, причем аргументы аи ..имеют независимые размерности, а размерности аргументов ak+u cin выражаются через размерности определяющих параметров аи ..cik:

К] = КГ... Ы, (1.14)

В конце концов любое исследование сводится к определению одной или нескольких зависимостей вида (1.13).

Размерность определяемой величины а должна выражаться через размерности определяющих параметров ai, .. ., а:

\а]=\аГ ... \а,У. (1.15)

В самом деле, если бы это было не так, то размерности величин а, аи ..an были бы независимыми и, согласно предыдущему, можно было бы, меняя систему единиц измерения внутри данного класса, произвольно менять величину а, оставляя неизменными величины ai, ..., ak (а следовательно, и все определяющие параметры ai, ..., an). Это означало бы, что величина а зависит не только от параметров аи .an, т. е. что список определяющих параметров в зависимости (1.13) заведомо неполон. Таким образом, существуют такие числа р, ..., г, что имеет место формула (1.15). Положим поэтому

Pk + 1 /7+1 ПП

а + а,

к 1

П= . (1.16)