(Напомним, что тепловой масштаб длины в рассматриваемом случае неустойчивой стратификации отрицателен.) Изучаемый предельный случай малых отвечает --оо и выполнению асимптотических соотношений (12.11), поэтому отношение фт/фи при 1--оо пропорционально величине так что условие

ограниченности турбулентного числа Прандтля будет иметь вид

1 = 11. (12.15)

Это соотношение и определяет зависимость второго показателя в законах подобия от глобального числа Рейнольдса.

К сожалению, имеющиеся опытные данные, относящиеся к термически стратифицированным турбулентным потокам с поперечным сдвигом, пока еще остаются крайне скудными и не позволяют высказать однозначное суждение о справедливости или несправедливости предположения о неполной автомодельности по локальному числу Рейнольдса.

12.3. Режим предельного насыщения пристеночного турбулентного сдвигового потока со взвесью

Обратимся теперь к рассмотрению турбулентного сдвигового потока, содержащего взвесь мелких тяжелых частиц. Объемная и массовая концентрации частиц считаются очень малыми (так, например, в реках, несущих большое количество наносов, их объемная и массовая концентрации редко превышают несколько десятитысячных), поэтому вклад частиц в плотность смеси пренебрежимо мал. Тем не менее динамическое действие частиц на поток может оказаться существенным из-за громадного влияния силы тяжести. Таким образом, отличием плотности смеси от плотности чистой жидкости мы будем пренебрегать всюду, где это отличие не умножается на ускорение силы тяжести. Далее, частицы предполагаются много меньшими внутреннего масштаба турбулентности, поэтому движение частиц можно представить себе следующим образом: частицы переносятся вихрями вместе с жидкостью, но опускаются относительно жидкости с постоянной скоростью, такой же, с которой частица опускалась бы в покоящейся безграничной жидкости. Будем, следовательно, считать, что горизонтальные компоненты мгновенной скорости частиц и жидкости совпадают, а вертикальные отличаются на постоянную величину а - скорость свободного падения частиц в жидкости.

Рассмотрим снова пристеночную область потока (например, приземный слой атмосферы или придонный слой руслового потока). Распределения концентрации частиц и прочих характеристик потока будем считать стационарными и зависящими только

Мы отвлекаемся здесь от влияния термической стратификации. Совместный учет термической стратификации и стратификации взвесью можно найти в работе [16]; он существенно усложняет результирующие соотношения.

от вертикальной координаты. Уравнение импульса в этой области остается таким же, как для* чистой жидкости, поскольку влияние частиц на плотность смеси пренебрежимо мало.

Уравнение баланса массы взвеси получим, приравняв нулю суммарный поток частиц через единичную горизонтальную площадку. Этот приток складывается из потока от турбулентного переноса частиц {swy и потока от оседания частиц -as, так что

<5V>-as = 0, (12.16)

где 5, 5 - соответственно средняя объемная концентрация частиц и ее пульсация.

Наконец, уравнение баланса турбулентной энергии в потоке со взвесью в пренебрежении вкладом диффузии турбулентной энергии принимает вид

(uwy ди + + о iswy g = 0. (12.17)

Здесь а = (рр - р)/р - относительное превышение плотностью частиц плотности жидкости (рр - плотность частиц). Первые два члена представляют собой соответственно порождение турбулентной энергии за счет работы рейнольдсовых напряжений и скорость вязкой диссипации в тепло на единицу массы жидкости (ср. уравнение (11.9) для однородной жидкости). Новый по сравнению с уравнением (11.9) последний член выражает собой затрату турбулентной энергии на турбулентное взвешивание частиц потоком. Несмотря на малость концентрации частиц в потоке, это слагаемое может иметь существенное значение, поскольку сила тяжести очень велика и ее влияние может компенсировать малость концентрации. При анализе переноса частиц турбулентным потоком воспользуемся полуэмпирической теорией и гипотезами автомодельности А. Н. Колмогорова (ср. п. 11.2).

Уравнение (12.17) можно представить в виде

ЫтУ duiX- Ко) + = О, (12.18)

где безразмерный параметр, называемый числом Колмогорова*, выражает относительную затрату турбулентной энергии на взвешивание частиц потоком:

Ко = -ag- (sw)l<uwy ди, (12.19)

Этот параметр является единственным критерием динамической активности взвеси, т. е. влияния взвешенных частиц на динамику потока. Введем аналогично коэффициенту обмена импульса коэффициент обмена взвеси:

(sw} = KsdzS (12.20)

и примем гипотезу автомодельности, согласно которой и этот коэффициент, как и коэффициент обмена импульса и скорость дисси-

Число Колмогорова аналогично параметру, возникающему при анализе температурной стратификации, и называемому числом Ричардсона (см. ниже).

пации, зависит только от средней энергии и размера вихрей в данной точке потока, т. е. от локальной т>рбулентной энергии единицы массы и масштаба турбулентности. Отсюда, используя анализ размерности, получаем:

Ks = d/b, (12.21)

где е - постоянный множитель.

В рассматриваемой задаче о течении взвеси в отличие от течения чистой жидкости (ср. п. 11.2) появился дополнительный параметр-число Колмогорова Ко, так что для масштаба турбулентности /, согласно анализу размерности, получаем

/ = гЧ(Кеь Re*, Ко).

В предположении полной автомодельности по локальному и глобальному числам Рейнольдса масштаб турбулентности выражается через универсальную функцию числа Колмогорова:

l = nyzOi(Ko), (12.22)

где X, 7 - постоянные, получившиеся для однородной жидкости (п. 11.2), а Ф/(0) равно, очевидно, единице, поскольку Ко = 0 отвечает однородной жидкости, для которой / = yiyz. Масштаб турбулентности под влиянием взвеси заведомо не возрастает, поэтому функция Ф/ не должна возрастать с ростом своего аргумента.

Итак, в сделанных предположениях основная система уравнений взвесенесущего турбулентного сдвигового потока в пристеночной области принимает вид

/ д,и = ul; гt/bд,s + as = 0; b = {ally) (1 -~ Ко)

/ = >с7гФ; (Ко); Ko = ogaslu%u. (12.23)

Система (12.23) обладает некоторыми характерными свойствами. Прежде всего, в нее входит только градиент скорости dzU, 2l не сама скорость. В то же время эта система содержит как градиент средней концентрации ds, так и саму среднюю концентрацию S, Поэтому скорость определяется системой (12.23) с точностью до постоянного слагаемого, и для концентрации, вообще говоря, требуется задавать граничное условие. В частности, если Ко<с1, так что влияние частиц на динамику потока пренебрежимо мало, то l = yiyz, b = u\/y. Подставляя эти выражения в уравнение для концентрации и интегрируя, получаем:

5 = consti ; со = а/гпи] и = {uJk) \nz + consta, (12.24)

где постоянная consti должна определяться из граничного условия-задания концентрации частиц на некотором уровне, причем эта концентрация может быть произвольной. Пусть теперь частицы оказывают существенное влияние на динамику потока, т. е. число Ко имеет порядок единицы. Тогда при неограниченном запасе частиц на подстилающей поверхности ввиду обратного влия-