кривой (4.24). Образ фронта, как нетрудно проверить, лежит на пересечении кривой (4.24) и первой кривой (4.25). Существует интегральная кривая, проходящая от образа фронта к особой точке типа узла и оттуда -в особую точку типа седла. Следует отметить, что среди всех решений, отвечающих аа 1, только построенное выше решение, отвечающее а = а, дает конечное ускорение частиц газа на фронте. Для решений, отвечающих остальным значениям а, это ускорение бесконечно.

При Yi>2y+1 скорость звука на фронте ударной волны становится меньше скорости газа относительно фронта. Поэтому при Yi>2y+1 на фронте ударной волны следует задать еще одно дополнительное условие, и без такого условия решение сформулированной выше исходной задачи становится неединственным.

Итак, построено автомодельное предельное решение, которое является промежуточной асимптотикой решения исходной неавтомодельной задачи. Неопределенной осталась только постоянная Л, или, что то же, безразмерная постоянная а. В случае Yi = Y величина А = оЕ и константа о находятся из закона сохранения полной энергии

= 4я ] (р + 77) dr = const,

справедливого и для неавтомодельной стадии движения. При yi Ф фу такой закон не имеет места: уравнение баланса энергии принимает неинтегрируемую форму

dff/dt = -4лг?Дро (Y - Yi) Pfliy - 1) (Yi - 1) Pf 0. (4.27)

Единственным способом определения константы о остается в настоящее время прослеживание эволюции решения неавтомодельной задачи к автомодельной промежуточной асимптотике.

Для целей сравнения с асимптотикой численного решения неавтомодельной задачи решение сформулированной выше нелинейной задачи на собственные значения для системы обыкновенных уравнений также было найдено численно. Система обыкновенных уравнений (4.18) -(4.20) решалась численно при начальных условиях (4.21), причем показатель а подбирался методом проб так, чтобы удовлетворялось условие отсутствия притока вещества и энергии в центре при / > 0. Счет прекращался, когда величину

= Rzlly вблизи = О с точностью до 1 % можно было считать постоянной. Результаты сопоставления значений показателя а, определенных численным счетом неавтомодельной задачи для системы уравнений в частных производных и счетом нелинейной задачи на собственные значения, приведены в табл. 4.1.

Сопоставление собственных функций нелинейной задачи на собственные значения с предельными распределениями, получившимися при установлении решения неавтомодельной задачи, также обнаружило их хорошее совпадение: относительное расхождение не превышает 2 %,

Таким образом, численное интегрирование при взятых нами начальных условиях подтверждает, что асимптотикой решения исходной неавтомодельной задачи действительно является автомодельное решение, рассмотренное в предыдупем и этом параграфах.

Как и для автомодельного решения, рассмотренного в главе 3, для этого автомодельного предельного решения характерны два свойства. Во-первых, показатель а степени времени в выражении для автомодельной переменной не находится из соображений подобия, а требует для своего определения решения нелинейной задачи на собственные значения, т. е. находится из условия существования автомодельного решения не в малом, а в целом. Далее, все решение определяется при этом лишь с точностью до некоторой постоянной, входящей в автомодельную переменную, которая может быть найдена только сращиванием автомодельной промежуточной асимптотики с неавтомодельным решением исходной задачи: интегрального закона сохранения, позволяющего непосредственно определить значение этой постоянной по начальным данным исходной задачи, здесь не существует.

Другим способом пришли к автомодельному решению задачи, рассмотренной в этом параграфе, в частном случае yi = 2y+1 когда удовлетворяется условие Чепмена-Жуге, Я. Г. Сапунков [93] и А. К. Оппенгейм с соавторами [175-177]. Численные расчеты были выполнены в работе [3

4.6. Задача о коротком ударе

Весьма поучительными особенностями обладает принадлежащая к тому же типу задача о коротком ударе, изученная в работах К. Вейцзеккера, Я. Б. Зельдовича и их сотрудников [213, 136, 135, 165, 42, 1]. Для иллюстрации этих особенностей мы кратко изложим здесь задачу о коротком ударе (более подробно она рассмотрена в монографии Я. Б. Зельдовича и Ю. П. Райзера [48]).

Представим себе пространство, разделенное непроницаемой плоской стенкой х = 0 на две половины (х - координата, отсчитываемая от стенки по нормали к ней). Полупространство хО занято покоящимся идеальным газом плотности ро, находящимся под нулевым давлением; в полупространстве х О -вакуум. В начальный момент /==0 на стенке справа создается (например, путем взрыва) давление р = ро, которое меняется по некоторому закону p = pQf{t/x) до момента / = т, после чего стенка мгновенно убирается. Задача состоит в исследовании возникающего при t>x движения. В этом движении вправо по покоящемуся газу распространяется плоская ударная волна x = Xf{t). В некоторой области за волной сжатый газ продолжает двигаться вправо. В какой-то плоскости x = Xo{t) мгновенная скорость частиц газа становится равной нулю, и все частицы газа, расположенные левее этой плоскости, движутся налево: там происходит расширение сжатого ударной волной газа в вакуум.

Решение сформулированной задачи приводится к решению той же, что и в задаче о сильном взрыве, системы уравнений газодинамики, но уже для плоского случая:

dtv + у + dplp = 0; (4.28)

дф + ра = 0;

dt{plQ) + vdApl9) =

Граничные условия на ударной волне x = Xj{t) те же, что и в задаче о сильном взрыве:

(Vf - D) = -poD; р {Vf ---D)Vf + Pf = 0; p {Vf - D) [vy2 + pf/{y -l)pf]+ PfVf = 0. (4.29)

Здесь D = dxf/dt. Начальные условия в момент t = x соответствуют при л:<0 вакууму. При х>0 начальные условия соответствуют состоянию движения, возникающему в момент t = x в полупространстве при поддержании на границе в течение промежутка времени т давления, меняющегося по закону р(0, t) = pof(t/x). При этом предполагается, что полупространство в начальный момент заполнено покоящимся газом плотности ро при нулевом давлении. Очевидно, что область возмущения при t = x конечна.

Таким образом, плотность, давление и скорость газа зависят от следующих размерных величин:

Ро, ро, т, X, (4.30)

а координата фронта - от всех этих величин, кроме последней. Применяя стандартную процедуру анализа размерностей, получаем:

Xf=/pЛoтlf{Ul); (4.31)

Пр=Фр(П1, Пз); Пр = Фр(П1, Пз), П = ФЛПь Пз). (4.32)

П1 = t/x\ П2 = л:/VРо/рот; П р = р/ро; П, = р/ро; = t>/VРо/ро-

(4.33)

Как видно, решение поставленной задачи оказалось неавтомодельным. Это объясняется тем, что в задаче имеются характерное время X и характерный линейный размер VPo/Pot.

4.7. Численный эксперимент. Автомодельная промежуточная асимптотика

Численные расчеты обнаруживают, однако, что, аналогично предыдущим задачам, решение сформулированной задачи обладает замечательным свойством: зависимость координаты фронта волны от времени быстро (через время порядка т после начала