начальный момент в центре сосредоточено количество тепла Е\

i\r4{r,

4я \ гЧ (г, 0) dr = Elc = Q. (10)

Здесь г -как угодно малый радиус, значение которого несущественно, поскольку в начальный момент все тепло сосредоточено в точке. Разумеется, такое начальное распределение температуры и{г, 0) представляет собой обобщенную функцию. Как видно, приращение температуры и зависит от момента времени t, температуропроводности х, величины Q = Elc, а также от расстояния г точки наблюдения от центра. Все эти величины размерны, и их численные значения зависят от выбора единиц измерения длины, времени и температуры. При этом температуропроводность к имеет размерность квадрата длины, деленного на время; величина Q - размерность температуры, умноженной на куб длины. Это следует из того, что левая и правая части соотношений (8) и (10) должны иметь одинаковую размерность. Поэтому величина V?</ имеет размерность длины, величина Q/(VO -Размерность температуры, а величины

П = U/Q (V>) ; П1 = r/V

безразмерны. Параметр П1 - единственный независимый безразмерный параметр, который можно составить из величин t, Q, г. (Очевидно, что параметры t, к, Q имеют независимую размерность.) Зависимость

u = f{t, X, Q, г),

определяющая искомое решение, должна, в согласии со сказанным, представляться в виде соотношения между безразмерными величинами

п = Ф(по. (11)

Из соотношения (11) получаем

u = [Q/(y]f(l); i = u, = rW, (12)

т. е. соотношение (3). Таким образом, в данном случае удалось установить автомодельность решения и определить масштабы Uo{t) и ro{t), опираясь только на анализ размерностей. Дифференцируя соотношение (12), находим:

du- df , 2 Q 1 d2f

Подставляя эти выражения в уравнение в частных производных (8), получаем для функции / обыкновенное дифференциальное уравнение:

Далее, из условия на бесконечности (9) получается i/(oo, t) -

= Q( /(оо) = О, откуда /(оо)=0. Ограниченное решение

уравнения (14) при условии /(оо) =0 легко находится с точностью до константы:

f = Aexp{-l/4). (15)

Константа А определяется следующим образом. В рассматриваемой задаче имеет место закон сохранения во времени суммарного количества тепла, которое должно быть равно количеству тепла, сосредоточенному в начальный момент в центре:

4nc\ruir,t)dr = const = E = cQ. (16)

Из соотношения (12) получаем

оо оо

J ги (г, о dr = QA\ fe dl = 2QA л/я.

Отсюда, используя уравнение (16), находим значение константы А = \/8п, что и завершает решение задачи.

Во многих других случаях соображений анализа размерности также оказывается вполне достаточно, чтобы обосновать автомодельность решения исходя из формулировки математической задачи и получить выражения для масштабов и автомодельных переменных. Известная книга Л. И. Седова [97] содержит много примеров, иллюстрирующих применение анализа размерностей для установления автомодельности и определения автомодельных переменных. В ней содержится также изложение применимого в таких случаях общего подхода. Дальше мы увидим, однако, что решения, для установления автомодельности которых достаточно анализа размерности, среди прочих автомодельных решений относительно редки; как правило, дело обстоит сложнее.

5. Автомодельности, даже понятые с точки зрения анализа размерностей, оставались в представлении большинства исследователей лишь изолированными точными решениями частных задач - изящными, иногда в меру полезными, но все же весьма ограниченными по своему значению атрибутами физических теорий. Только постепенно осознавалось, что значение этих решений много шире. На самом деле они описывают не только поведение физических систем в некоторых ча.стных условиях, но и промежуточно-асимптотическое поведение решений более широких классов за-

дач в той области, где эти решения перестают зависеть от деталей начальных и (или) граничных условий, но система еще далека от предельного состояния.

Для рассмотренного примера это означает, что решение (1) описывает не только распределение температуры в бесконечном пространстве под действием мгновенного точечного источника. Оно описывает также и распределение температуры, возникающее в конечной области размером Л, если сосредоточить в начальный момент ту же порцию тепла не в точке, а в конечной области Q размером <<<Л (даже не обязательно симметричной). При этом наблюдать надо на расстояниях от центра Q, много больших X, и, вместе с тем, много меньших Л, в моменты времени, для которых размер прогретой области значительно больше и все же много меньше Л. Это промежуточно-асимптотическое свойство решения типа мгновенного источника строго доказывается в математической теории теплопроводности.

Именно рассмотрение автомодельностей как промежуточных асимптотик позволяет правильно понять роль анализа размерностей при установлении автомодельности и определении автомодельных переменных. Как оказывается, соображений размерности далеко не всегда достаточно для установления автомодельности. Более того, можно даже утверждать, что, как правило, это не так.

Я. Б. Зельдович [42] впервые явно выделил в особый класс автомодельные решения, для которых анализ размерности недостаточен для установления автомодельности и определения автомодельных переменных. Он назвал эти решения автомодельными реилениями второго рода. Следует отметить, что подобные решения рассматривались еще ранее Гудерлеем [134], Л. Д. Ландау и К. П. Станюковичем [100], Вейцзеккером [213]. В известной книге Я. Б. Зельдовича и Ю. П. Райзера [48], а также в статье К. В. Брушлинского и Я. М. Каждана 28] был проведен подробный анализ известных к тому времени решений этого типа.

6. Понять, в чем состоит внутренняя природа классификации автомодельностей в простейшем случае, можно, несколько расширив рассмотренную выше задачу теплопроводности. Пусть теперь теплоемкость среды равна одной постоянной с, если среда нагревается, и равна другой постоянной ci, если среда остывает, а теплопроводность среды по-прежнему постоянна. При этом уравнение теплопроводности (8) заменится уравнением

dtU = ys-drrdrU при dtWO; dtu = y.ir-drrdrU при (?w<0, (17)

Символ а {{{b означает, что существует диапазон таких значений величины X, что л:>а, но л:<6.

2 Сам термин автомодельность второго рода употреблялся Зельдовичем в его ранних работах в более узком смысле, чем он употребляется здесь.

3 Уравнения вида (17) встречаются в теории фильтрации жидкости в пористых средах (см. главу 3) и других областях.