Существенно, что хотя этот закон и имеет степенную форму, его нельзя получить с помощью анализа размерностей. Дело в toim, что закон затухания величины Umsix определяется размерностью постоянной Ql. Эта размерность заранее неизвестна и определяется после построения автомодельного решения в целом, т. е. из решения нелинейной задачи на собственные значения. Однако, поскольку мы в данном случае имеем дело с неполной автомо-дельностью первого типа, независимая автомодельная переменная- в данном случае IIi - находится из анализа размерностей. Следовательно, в частности, для закона распространения волны разгрузки - границы областей с разными к - получается закон подобия

о(0=1о(Пз) V. (5.24)

который может быть установлен из соображений размерности.

Обратимся к модифицированной задаче о сильных взрывных волнах. Искомое автомодельное решение представляет собой автомодельную асимптотику при больших временах решения уравнений адиабатического движения газа с показателем адиабаты у при условиях на фронте сильной ударной волны, в которых фигурирует эффективный показатель адиабаты Yi=7Y> и начальных условиях, соответствующих выделению в начальный момент энергии Е в сфере радиусом Ro.

Применение анализа размерности к этой невырожденной задаче снова приводит нас к соотношениям (5.18), причем подразумевается, что в числе аргументов функций Фр, Фр, Ф и Ф/ фигурируют также постоянные параметры Пз = Y, п4 = Yi-

Однако в случае Yi=7y полной автомодельности по параметру подобия П2, делающему задачу невырожденной, при Пз--О нет: функции Фр, Фр, и Ф/ не стремятся к конечным и отличным от нуля пределам. При этом функции Фр, Ф;, Ф/ при Пг-О стремятся к нулю или бесконечности, в зависимости от того, меньше или больше Yi, чем у, а функция Фр вообще ни к какому пределу не стремится. В действительности здесь имеет место неполная автомодельность второго типа: при HiO, П2->0 для функций Фр, Фр, Ф и Ф/ имеют место степенные асимптотики

(-У Ф/ = const nf. (5.25)

Следовательно, в согласии со сказанным выше, при малых IIi, П2 соотношение (5.18) снова записывается в автомодельном виде

п; = фр2(П**); П;==Фр2(П**): и1 = Ф2(Ю> П; = const, (5.26) 98

где безразмерные параметры П, Пр, П*, Ilf и П**определяются соотношениями

Однако уже не только зависимые автомодельные переменные

Пр, П, П*, но и независимую автомодельную переменную нельзя определить из соображений размерности, так как постоянная Р заранее неизвестна и находится из решения нелинейной задачи на собственные значения. Кроме того, во все автомодельные переменные явно входит радиус сферы /?о, в которой произошло выделение энергии в начальный момент. Из соотношений (5.26) получаются законы подобия для давления и скорости на фронте ударной волны и радиуса ударной волны:

Pf = const,Qo{ElpofRlr-; а = 2(1 -р)/5;

t, = const2 {ElpofRr-; r = consta (£/роГ/?о (5.28)

Как видно, несмотря на то что эти законы имеют степенной вид, их нельзя получить из анализа размерностей. Дело в том, что размерность константы А = aER~\ которая определяет эти

законы подобия может быть найдена только после решения нелинейной задачи на собственные значения, к которой сводится построение автомодельного решения в целом.

Рассмотренные примеры показательны. Обращаясь к решению некоторой задачи, и в частности к отысканию ее автомодельных решений, мы не знаем заранее, к какому типу принадлежат решения соответствующих ей вырожденных задач. Сопоставление рассмотренных выше обычных и модифицированных постановок задачи показывает, что ситуация может быть довольно коварной: с точки зрения возможности применения анализа размерностей эти задачи внешне никак не различаются. В связи с этим, например, весьма соблазнительно начать с получения законов подобия, не обращаясь к решению уравнений. Рассуждая как обычно, мы и в модифицированных задачах могли бы предположить, что поскольку начальный отбор массы или выделение энергии происходит в малой области, размер этой области несуществен, т. е. предположить полную автомодельность по параметру подобия, отвечающему начальному размеру. Отсюда уже автоматически следуют отвечающие полной автомодельности законы подобия (5.16), (5.19). На самом же деле, как мы убедились, законы подобия здесь совсем другие, хотя тоже степенные. Таким

образом, нужно иметь в виду, что предположение о простой несущественности тех или иных параметров, делающих задачу невырожденной (в рассмотренных примерах - размеры / и /?о), представляет собой очень сильную гипотезу. Эти определяющие параметры могут быть существенными, а автомодельность, тем не менее, иметь место. Различение возможных случаев автомодельности требует в действительности достаточно глубокого математического исследования, которое для серьезных нелинейных задач недоступно. Итак, получая автомодельные решения или законы подобия на основе анализа размерностей, следует обязательно позаботиться о проверке, хотя бы путем численного счета: действительно ли найденные решения или законы подобия отражают асимптотическое поведение решений рассматриваемой задачи. Положение неизмеримо усложняется, если математическая формулировка задачи отсутствует; в этом случае для проверки основных предположений следует обращаться к эксперименту. Рассматриваемые в последующих главах примеры подтвердят необходимость такой предосторожности.

Глава 6

АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ И БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ

6.1. Решения типа бегущих волн

В разнообразных проблемах математической физики важную роль играют инвариантные решения типа бегущих волн. Так называются решения, для которых распределения характеристик движения в разные моменты времени получаются одно из другого сдвигом, а не преобразованием подобия, как в случае автомодельных решений. Иными словами, всегда можно выбрать подвижную декартову систему координат так, что распределение характеристик движения типа бегущей волны в этой системе будет стационарно. К рассмотрению бегущих волн сводится исследование структуры фронта ударных волн в газодинамике [59, 46] и магнитной гидродинамике [60-62], структуры верхнего термоклина в океане [14, 209], структуры фронта пламени [41, 45], уединенных и периодических волн в плазме и на поверхности тяжелой жидкости [51, 145], а также многие другие задачи. В последнее время были исследованы различные процессы, включающие в себя эффекты распространения плазменных фронтов в электрических, электромагнитных, световых (лазерных) полях, так называемые волны распространения разрядов [30, 29, 87, 89]. Эти процессы также приводят к рассмотрению решений типа бегущих волн [89].