тогда соотношение (8.4) приводится к той же форме (8.1), что и эмпирическое уравнение Ричардсона для приближенной длины морского побережья.

Из соотношения (8.1) следует, что число звеньев аппроксимирующей ломаной с длиной звена ц равно

Ы = 1/ц = Хц-. (8.6)

Величина Ьц - длина аппроксимирующей ломаной - при п->оо (л-О) стремится к бесконечности, поскольку D > 1. Построим теперь на каждом звене ломаной квадрат. Суммарная площадь этих квадратов составляет Niif = Xrf-. Эта величина стремится при т] -> О к нулю, поскольку D <2.

Конечная величина, не равная нулю, получается в пределе при 11->0, если число звеньев аппроксимирующей ломаной умножить на Г] в степени D, промежуточной между единицей и двумя:

Nr] = X, (8.7)

Величина Л, являющаяся мерой протяженности и искривленности предельной непрерывной кривой, для которой справедливо соотношение (8.1), называется ее мерой Хаусдорфа. Как мы уже видели, различные участки такой кривой можно сравнивать по протяженности, но не по их длине, которая бесконечна, а по их мере Хаусдорфа. Постоянная D называется размерностью Хаусдорфа рассматриваемой кривой. Для размерности Хаусдорфа триады Коха справедливо двойное неравенство 1 < D < 2. Из рис. 8.1 следует, что для западного побережья Британии 1,24, а для побережья Австралии D;l,13. Таким образом, и для этих кривых размерность Хаусдорфа тоже лежит между единицей и двумя. В то же время для обычной гладкой кривой длина аппроксимирующей ломаной ограничена, так что для гладкой кривой D=l. Дадим теперь формальное определение кривых-фракталей.

Кривой-фракталем \ или фрактальной кривой называется непрерывная кривая, для которой размерность Хаусдорфа строго больше единицы:

D>1. (8.8)

Ясно, что размерность Хаусдорфа определена не для всякой непрерывной кривой, а только для кривых, для которых справедливо соотношение типа (8.1) для длины аппроксимирующей ломаной.

Из предыдущего следует, таким образом, что триада Коха представляет собой фрактальную кривую. Как показывает изложенный выше анализ Ричардсона, морские побережья Британии и Австралии также аппроксимируются фрактальными кривыми.

Название фракталь происходит от латинского fractus - дробный, ломаный.

Заметим, что постоянство размерности Хаусдорфа вдоль всей фрактальной кривой не обязательно. Для того чтобы непрерывная кривая была фрактальной, нужно, чтобы локально, вблизи каждой точки, длины аппроксимирующих кривую ломаных представлялись соотношениями вида (8.1), где D обязательно больше единицы, но вблизи разных точек может быть различным. Простейший пример фрактальной кривой с разными размерностями Хаусдорфа на разных участках получается, если на п-м шаге построения триады Коха изменить элементарную операцию и взять ее разной для разных звеньев ломаной: на первом оставить прежней, на второй делить отрезок на пять частей и заменять вторую и четвертую части двумя сторонами построенного на их базе равностороннего треугольника, на третьей делить отрезок на семь частей и также заменять вторую, четвертую и шестую части и т. д. В результате на одной части предельной кривой размерность Хаусдорфа будет по-прежнему равна lg(V3), на второй -lg(V5), на третьей - Ig (V?) и т. д.

Приведенное выше рассмотрение фракталей на примере фрактальных кривых, в принципе, без труда переносится на поверхности, трехмерные тела и, вообще, объекты любой топологической размерности. Мы здесь на этом останавливаться не будем.

8.2. Неполная автомодельность фракталей

Выясним теперь, какие свойства рассмотренных выше фрактальных кривых привели именно к степенному закону возрастания длины аппроксимирующей ломаной при уменьшении длины ее звена. Возьмем непрерывную замкнутую кривую, диаметр которой (расстояние между наиболее удаленными точками) равен L. Аппроксимируем рассматриваемую кривую ломаной линией с постоянной длиной составляющих отрезков (звеньев) т] и вершинами, лежащими на этой кривой. Ясно, что число звеньев ломаной линии зависит только от двух размерных параметров: L и т]. Поскольку величина N безразмерна, из анализа размерности получаем

N = f{Lh). (8.9)

Возьмем теперь другую аппроксимирующую ломаную с меньшей длиной отрезка: < т]. Рассмотрим участок кривой между двумя соседними вершинами первой ломаной и попытаемся определить число вершин второй ломаной, приходящихся на этот участок. Триада Коха обладает двумя важнейшими свойствами: однородности, так что все участки кривой между соседними вершинами первой ломаной порождают одинаковое количество отрезков второй ломаной, и самоподобия (подобия кривой своей части), так что число отрезков ломаной с длиной звена g, помещающихся

Последний отрезок ломаной может иметь длину меньше ц.

между соседними вершинами ломаной с длиной г], зависит только от отношения т]/, но не от и g в отдельности. Предположим, что рассматриваемая кривая также обладает свойствами однородности и самоподобия. Рассмотрим ломаную с длиной отрезка, равной диаметру. Число сторон такой ломаной, согласно (8.9), равно f(l). Следовательно, на каждый отрезок ломаной, равный диаметру кривой, приходится f{L/\])/f{l) отрезков ломаной с длиной звена т]. В силу свойства самоподобия аналогичное выражение при замене L на т] и г] на g справедливо для числа звеньев ломаной с длиной приходящихся на один отрезок ломаной с длиной ц:

Ni = fm/f{H (8.10)

Вследствие однородности- кривой это выражение справедливо для всех отрезков ломаной с длиной звена т], число которых равно f{L/y]). Следовательно, общее число отрезков второй ломаной на кривой будет равно

/(1/л)/(лШ(1). (8.11)

С другой стороны, в силу той же формулы (8.9), число отрезков второй ломаной на кривой составляет f{L/l), Приравнивая оба выражения для числа звеньев второй ломаной, получаем функциональное уравнение для функции /:

f{x)f{y/x) = f{y)f{lh (8.12)

где х = Ь/ц, y = L/, так что ц/1 = у/х. С близким функциональным уравнением мы уже встречались в главе 1 (уравнение (1.5)); уравнение (8.12) решается вполне аналогично и мы получаем его гладкое решение в виде

f{x) = Cx, (8.13)

где C = f(l) и D - постоянные. Имея в виду, что Lr = Nr\y получаем из (8.9) и (8.13):

I = W (8Л4)

где X = CLy т. е. формулу (8.1). Для триады Коха, например, С = 3, D= 1,2618. ...

Мы показали, таким образом, что для непрерывной замкнутой кривой, обладающей свойствами однородности и самоподобия справедлив степенной закон (8.1) при постоянном вдоль кривой D. Если D > 1, кривая является фракталем.

Однако требования однородности и самоподобия являются чрезвычайно ограничительными и множество кривых, им удовлетворяющих, весьма узко. Трудно представить себе, например, чтобы кривые, изображающие линию морского побережья обладали этим свойством в точности. Покажем, что свойства однородности и самоподобия кривой не являются необходимыми для того, чтобы непрерывная кривая была фракталем; для этого достаточно