Мы будем говорить в подобных случаях о неполной автомодельности явления по параметрам Пг, Пу.. ..

Таким образом, мы приходим к весьма естественному выводу. Если значения некоторых безразмерных параметров подобия малы или велики, то осуществляется одна из трех возможностей.

1. При Пг->0, оо пределы соответствующих функций Ф существуют, конечны и отличны от нуля. Соответствующие определяющие параметры: размерные au+i и безразмерные Пг -могут быть исключены из рассмотрения; число аргументов функции Ф уменьшается. Все параметры подобия могут быть определены при помощи регулярной процедуры анализа размерности. Этот случай отвечает полной автомодельности явления по параметрам подобия Пг.

2. При Пг, Hj, ... о, оо конечных пределов функций Ф не существует, но имеет место один из исключительных случаев, указанных выше: функции Ф имеют степенное асимптотическое пред-ставление.2 В этом случае уменьшение числа аргументов функций Ф тоже имеет место, но не все параметры П, Пг, ... можно получить из анализа размерности и определяющие параметры ak+i- остаются существенными, как бы малы (велики) ни были соответствующие параметры подобия. Этот случай отвечает неполной автомодельности явления по параметрам подобия Пг, Hj, ....

3. При Пг -> О, оо конечных пределов функций Ф не существует, и указанные исключения не имеют места. Этот случай соот-Бетствует неавтомодельности явления по параметрам подобия Пг. Уже было отмечено, что как бы велики (малы) ни были значения параметров Пг, в этом случае не получается соотношение вида (5.4) между степенными комбинациями определяемых и определяющих параметров с меньшим числом аргументов функции Ф. Целесообразно выделить специальный случай, когда при больших (малых) значениях параметров Пг один из них отделяется , хотя и не степенным образом. Это значит, что при таких значениях параметров подобия функция Ф представляется в виде

Ф = W {Ui) Фз + малая величина,

где Ч -функция аргумента Пг, отличная от степенной, например Ig Пг, а число аргументов функции Фз меньше п - k.

Напомним, что автомодельными называются явления, для которых распределения характеристик в разные моменты времени получаются одно из другого преобразованием подобия. Это понятие не следует смешивать с понятием автомодельности по параметру подобия.

2 Может возникнуть вопрос, почему в качестве исключений рассматриваются только асимптотические представления степенного вида (5,5) и (5.8) и нельзя ли вынести перед функцией Ф другую функцию Пг, например Iglli. На самом деле при этом уже не получается соотношения между степенными комбинациями определяемых и определяющих параметров вида (5.4) с меньшим числом аргументов. Величины П, Пг, П- представляют собой степенные комбинации размерных определяющих параметров, и только произведения их степеней при перемножении дают степенные комбинации того же вида.

трудность заключается в том, что мы априори, до получения неавтомодельного решения полной невырожденной задачи \ не знаем с каким случаем мы имеем дело независимо от того, имеется ли явная математическая формулировка проблемы или нет. Поэтому на практике можно рекомендовать лишь последовательно предполагать возможные ситуации при малых (больших) величинах параметров подобия: полную автомодельность, неполную автомодельность, неавтомодельность - и сравнивать соотношения, полученные при том или ином предположении, с данными численного счета, эксперимента или результатами аналитического исследования.

5.2. Автомодельные решения первого и второго рода

Рассмотрим теперь некоторую задачу математической физики, описывающую то или иное явление и имеющую единственное решение. Пусть величины а представляют собой в этой задаче неизвестные, величины аи ..- независимые переменные и параметры, входящие в уравнения, граничные, начальные и другие условия, выделяющие единственное решение.

Автомодельные решения представляют собой всегда решения вырожденных задач, которые получаются, если некоторые параметры ak+i и соответствующие им безразмерные параметры Пг принимают нулевые или бесконечные значения. Они представляют собой одновременно точные решения вырожденных задач и асимптотические (вообще говоря, промежуточно-асимптотические) представления решений более широких классов невырожденных неавтомодельных задач при стремлении указанных параметров к нулю или бесконечности.

Ясно, что если асимптотики автомодельны и автомодельные переменные - степенные одночлены, то обязательно имеет место один из двух первых случаев сформулированной в п. 5.1 альтернативы. В зависимости от того, какой из первых двух случаев альтернативы имеет место для данной автомодельности, автомодельные решения делятся на решения первого и второго рода.

Автомодельные решения первого рода получаются, когда предельный переход от неавтомодельной невырожденной задачи к автомодельной вырожденной задаче регулярен в том смысле, что имеет место полная автомодельность по параметрам подобия, делавшим задачу невырожденной и ее решение неавтомодельным. Выражения для всех автомодельных переменных, как зависимых, так и независимых, могут быть при этом получены применением анализа размерности.

Автомодельные решения второго рода получаются в случае, когда вырождение исходной задачи нерегулярно, но имеет место

Этого, как правило, не случается. Если решение полной задачи известно, применять методы подобия незачем.

неполная автомодельность по указанным выше параметрам подобия. Выражения для автомодельных переменных при этом, вообще говоря, не могут быть получены из соображений размерности.

Итак, если для данной постановки задачи математической физики в целом (начальной, краевой, смешанной и т. п.) существуют автомодельные решения со степенными автомодельными переменными, они получаются из неавтомодельных решений предельным переходом при стремлении некоторого параметра (параметров), делаюиего решение неавтомодельным, к нулю или бесконечности. Если этот предельный переход дает конечный предел, отличный от нуля, то автомодельное решение называется решением первого рода. Если конечного отличного от нуля предела не суиествует, но по указанному параметру (параметрам), стре.ня-иемуся к нулю (бесконечности), имеется степенная асимптотика, которая и обеспечивает автомодельность предельного решения, то автомодельное решение называется решением второго рода.

Существуют также автомодельные решения нестепенного типа, для которых автомодельные переменные уже не представляют собой степенные одночлены. Эти решения обязаны своим существованием специальному случаю, указанному в п. 5.3. Показательным примером таких решений служат предельные автомодельные решения, которые будут рассмотрены в главе 7.

При непосредственном построении автомодельных решений второго рода определение показателей степени в автомодельных переменных приводит к нелинейной задаче на собственные значения. Постоянный множитель Л, входящий в автомодельные переменные, при непосредственном построении автомодельных решений второго рода не определяется. Константу А можно найти, проследив, например, при помощи численных расчетов, процесс эволюции решения невырожденной задачи к автомодельной асимптотике.

Если константу А можно найти из интегральных законов сохранения, то это означает, что при надлежащем выборе определяющих параметров задачу можно переформулировать и привести к задаче первого рода. Например, классические задачи о тепловом источнике и сильном взрыве можно представить как автомодельные решения второго рода, если неудачно выбрать определяющие параметры невырожденной, доавтомодельной задачи. Возможность получения решений этих задач как автомодельных решений первого рода связана с выбором в качестве определяющих параметров энергии взрыва и суммарного тепла, которые в силу соответствующих интегральных законов сохранения не меняются во времени.

Примером автомодельных решений первого рода являются рассмотренные в главе 2 решения задач о распространении сильных тепловых и сильных взрывных волн и задачи о мгновенном тепловом источнике.