Резка промышленных проемов: www.rezkabetona.su 
Навигация
Популярное
Публикации «Сигма-Тест»  Промежуточная асимптотика (развивающееся направление) 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [ 15 ] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82

задачи, рассмотренные в этой главе, и притом так, что, на первый взгляд, все использованные соображения подобия, а следовательно, и выводы из них должны оставаться в силе, мы придем к противоречию. Разрешение противоречия обнаружит, что предельный переход от некоторой неавтомодельной задачи к ее автомодельной промежуточной асимптотике далеко не всегда бывает равномерным. Исследование неравномерных предельных переходов приведет нас к новому классу автомодельных решений.

Глава 3

МОДИФИЦИРОВАННАЯ ЗАДАЧА О МГНОВЕННОМ ТЕПЛОВОМ ИСТОЧНИКЕ: АВТОМОДЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ВТОРОГО РОДА

3.1. Модифицированная задача о мгновенном тепловом источнике

Рассмотрение задач, к которым мы теперь перейдем, покажет, что на самом деле простейшая ситуация, с которой мы встретились на примере автомодельных решений предыдущей главы, представляет собой редкое исключение, и, как правило, дело обстоит существенно сложнее.

Начнем с модифицированной задачи о мгновенном тепловом источнике. Модификация состоит в том, что меняется уравнение, которому удовлетворяет функция и в тех точках, где тело остывает. Вместо классического уравнения теплопроводности (2.14) эта функция удовлетворяет уравнению с разрывным коэффициентом температуропроводности:

dtu = yd\xti при dfUQ; dtU = xdixU при м<0, (3.1)

где xi - константа, отличная, вообще говоря, от х, так что коэффициент температуропроводности зависит от того, нагревается тело в данной точке или остывает. Такое уравнение встречается в теории движений жидкости в пористой среде, для которых его вывод будет дан в следующем параграфе, а также в других областях математической физики. Существенно, что подобное ступенчатое поведение коэффициента температуропроводности связано с различием при нагреве и остывании именно теплоемкости. Теплопроводность же не зависит от направления изменения температуры, так что условие непрерывности теплового потока требует непрерывности производной dxU. Нас интересует, таким образом, решение, уравнения (3.1), непрерывное, с непрерывными производными по обеим независимым переменным.



Было строго доказано, что решение начальной задачи для уравнения (3.1) при произвольной достаточно гладкой, монотонно и притом достаточно быстро убывающей с ростом \х\ функции и(х, 0) существует, единственно и обладает непрерывной производной по / и двумя непрерывными производными по х.

3.2. Вывод основного уравнения

Это уравнение встречается в теории фильтрации упругой жидкости в упруго-пластической пористой среде. Ниже приводится его краткий вывод. Читатель, не интересующийся конкретной физикой модифицированной задачи, может пропустить этот параграф без ущерба для понимания последующего.

Уравнение сохранения вещества при фильтрации жидкости в пористой среде имеет вид

dt (mp) + divpv = О,

Здесь m -пористость среды, т. е. относительный объем, занятый в среде порами, по которым идет фильтрация жидкости; р - плотность жидкости; v - скорость фильтрации, равная объемному расходу жидкости через единицу площади нормального к потоку сечения пористой среды; t - время. Скорость фильтрации пропорциональна градиенту давления; это составляет содержание основного для теории фильтрации закона Дарси, аналогичного по своей формулировке закону Фурье в теории теплопроводности:

y = -{kl[i) gradp,

где й -так называемый коэффициент проницаемости, определяющий сопротивление пористой среды просачиванию сквозь нее жидкости; 1 - коэффициент вязкости жидкости. Предполагается, что жидкость слабосжимаема, т. е. ее плотность линейно возрастает с ростом давления:

р/ро= 1 +Pf (/?-Ы,

где Р/ -коэффициент сжимаемости жидкости; ро, Ро -отсчетные давление и плотность жидкости. Пористая среда также считается слабосжимаемой. Ее пористость т, как показывает опыт, в первом приближении можно считать зависящей только от а -первого инварианта тензора напряжений (одной трети суммы главных напряжений), действующих в скелете пористой среды: т = т{о). Если пористая среда упругая, то

m/mo=l - Рг(с-ао),

где - коэффициент сжимаемости пористой среды, оо - отсчет-ное значение о (при увеличении напряжений среда спрессовы-

Здесь удобно считать положительными сжимающие напряжения.



вается, так что Рг>0), /по - соответствующее значение пористости. В условиях глубоко лежащего пористого пласта суммарное напряженное состояние системы жидкость - пористая среда неизменно, так как жидкость и пористый скелет вместе удерживают вышележащие породы. Следовательно, о + р = Оо+ро, откуда о - - ао = -(р -Ро). Подставляя эти соотношения в уравнение сохранения вещества и отбрасывая малые величины высшего порядка по Р/(р -Ро), причем i=r, f, получаем (подробнее см. [103, 122, 17]), что при фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде в условиях глубоко лежащего пористого пласта давление жидкости р(г, t), где г - радиус-вектор точки пласта, удовлетворяет классическому линейному уравнению теплопроводности

dtp = yp, (3.2)

Здесь X - так называемый коэффициент пьезопроводности, аналог коэффициента температуропроводности, равный (moP/ + Pr).

Пусть теперь, как это часто бывает, пористая среда деформируется необратимо. Тогда (подробнее см. [20, 17]) при увеличении о (уменьшении давления жидкости, так как суммарное напряженное состояние системы жидкость-пористая среда неизменно: а-Ь + р = ао+ро, dtG = -dtp)

а при уменьшении о (увеличении давления жидкости) dttn = - moPri dto = тоРн dtp,

причем Pri не равно Рг- Таким образом, уравнение для избыточного давления жидкости, т. е. разности начального и мгновенного давлений а (г, t) = ро - р(г, /), принимает вид

дtu = к{дtu)u, (3.3)

где х((9а)-ступенчатая функция: K{dtu)=K при и

{dtu) = Ki при dtu 0. Коэффициенты к и щ определяются свойствами жидкости и деформационными свойствами среды, различными при нагружении среды весом вышележащей толщи пород (падении давления жидкости) и разгрузке (последующем увеличении давления жидкости) :

к = кЩто?1 + Рг); ki = k/ix (moP + p,i).

Таким образом, аналог теплопроводности k/ix одинаков при нагружении и разгрузке, в то время как аналог теплоемкости /ПоР/Н-+ Рг при нагружении и разгрузке различен.

Предполагается, что в каждой точке пористой среды процесс нагружения и разгрузки происходит однократно. Можно рассмотреть и более сложные процессы; мы этого здесь делать не будем.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [ 15 ] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82



© 2010 www.sigma-test.ru Санкт-Петербург: +7 (812) 265-34-48, +7 (812) 567-94-10
Разработка и поддержка сайта: +7(495)795-01-39 после гудка 148651, sigma-test.ru(my_love_dog)r01-service.ru
Копирование текстовой и графической информации разрешено при наличии ссылки.