в интегралах (9.18) - (9.19) абсцисса линии интегрирования Res = c может выбираться произвольно в пределах одной и той же полосы регулярности подынтегральной функции. Выбор полосы регулярности определяется условиями, накладываемыми на напряжения на бесконечности. Требование исчезновения напряжения на бесконечности и регулярности напряжений, т. е. выполнения условий (9.11), позволяет выбрать полосу регулярности, содержащую точку s=-1. Представление решения интегралами (9.18) -(9.19) удобно для вычисления асимптотик.

Для вычисления интегралов следует замкнуть контур интегрирования, добавив к линии Res=c полуокружность большого радиуса, правую или левую, в зависимости от того, интересует нас асимптотика поля напряжений при г->0 или г-сх), и устремить радиус окружности к бесконечности. При этом нужный нам интеграл выразится через сумму вычетов в охваченных полученным контуром полюсах, т. е. для напряжений - в точках, соответствующих корням функции (9.20). Основные члены интересующей нас асимптотики решения при г->оо определяются, таким образом, корнями уравнения (9.20), имеющими наименьшую действительную часть.

Исследование корней уравнения (9.20) показывает, что положение меняется при значении а=а~0,715я, обращающем в нуль выражение sin 2а-2а cos 2а. Дело в том, что при 0<а<а* корнем функции (9.20), имеющим наименьшую действительную часть, является действительный простой корень s=0. При а=а* корень s==0 становится двукратным: при s=0 обращается в нуль не только €(s, а), но и G(s, а) =sin2а-2аcos2(s+1)а. Наконец, при а:,.<ая появляется действительный простой отрицательный корень s=l(a), причем Х{а) меняется монотонно от нуля при а=а* до -V2 при а=я.

Таким образом, главные члены разложения при г-с в этих-трех случаях (0<а<а, а = а, а<ая) различны:

1) при О <а < и г оо

ЧР = М (20 cos 2а - sin 20)/2 (sin 2а - 2а cos 2а) + о (1); а = 2Л1 sin 20/(sin 2а - 2а cos 2а) + о (г); Оев = о (г 2); а,е = М (cos 2а - cos 20)/(sin 2а - 2а cos 2а) + о (г ); (9.21)

2) при а = и г оо

W = (л1/12а* sin 2а J (3 [g (го) - In (г/го)] (20 cos 2а - sin 20) - - 30 cos 20 + 4 sin 20 - 50 cos 2a - 6a0 sin 2a} + 0 (1);

Orr = (Л/12a sin 2a,r) {ll2g (r,) - 12 In (г/го) - 1] sin 20 + + 120 cos 20 - 60 cos 2a} + 0 (r); oqq = M (20 cos 2a - sin 20)/4a sin 2ar + 0 (r ); 0,9 = (M/12a sin 2ar) {[6g (го) - 6 In (г/го) + 1] (cos 2a -

- cos 20) + 60 sin 20 - 6a sin 2aJ + 0 (r), (9.22)

3) при <аяигсх)

лу Р W 4- 2) cos (Л Ч- 2) а sin Ш-Х cos Ха sin (Я, + 2)9] .

+ [sin2a-2acos2(+1)а]г

+ М (26 COS 2а - Sin 2е)/2 (sin 2а - 2а cos 2а) + о (1);

р (Л) [ (Л + 2) cos (Л + 2) а sin Я9 - Я cos Яа sin (Л + 2) 9] , , 2ч.

[sin 2a-2acos2(A+l)a] r

Р (Я) [X + 4) cos Яа sin (Л + 2) 9 - (Л + 2) cos (Л + 2) а sin Л9] . [sin2a-2acos2(A+l)a]r + 2

+ 2M?sin 2e/(sin 2а - 2а cos 2а) + о (г);

р(Х) (Л+ 2) [cos(A + 2)acos9-cosacos( + 2)9] , [ sin 2а - 2а cos 2 (Я + 1) а] + 2

+ М (COS 2а ~ cos 2e)/(sin 2а - 2а cos 2а) + о (г), (9,23)

где р{Х) определяется формулой (9.17).

Применим теперь анализ размерностей к исходной неавтомодельной задаче. Не уменьшая общности, можно записать функцию р{г) в виде

р(г) = (М/2г?)(Г(г/го). (9.24)

Как видно, решение определяется следующими величинами: М, Го, г, 6, а, размерности которых суть соответственно f, L, L, 1,1. Следовательно, из анализа размерностей после стандартной процедуры получаем

Ч=МФ(г/го, в, а). (9.25)

Рассуждение, с помощью которого мы пришли к формуле (9.4), было основано на неявном предположении, что на больших расстояниях от вершины клина параметр г/го очень велик, и поэтому размер Го части боковой стороны клина, на которой была распределена нагрузка, несуществен.

Проведенный только что анализ показал, что это -действительно так лишь при О < а < а. Если а > а, то размер Го остается существенным, как бы далеко мы ни отошли от вершины клина. Тем не менее асимптотика функции напряжений, а следовательно, и всех компонент тензора напряжений автомодельна, но это автомодельность неполная, не определяемая из соображений размерности.

Действительно, как видно из соотношения (9.23), при а > существует такое действительное число Я, что функция Ф(т], 6, а), где г\ = г/го, при т1~>-оо (т. е. при г-оо или го-О) ведет себя как Т1-Ф1(6, а). Тогда в силу (9.25), предельное решение, получающееся при стягивании го к нулю, т. е. при т) с , имеет вид

Ч=Л1(Го/г)ф1(0, а). (9.26)

Ясно при этом, что устремляя го к нулю и желая получить правильную асимптотику решения неавтомодельной задачи при г/го--

оо, нельзя оставлять М постоянным; его тоже следует устремлять к нулю так, чтобы оставалось постоянным произведение Мг\.

Подставляя выражение (9.26) в бигармоническое уравнение (9.3), получаем для ®i(6, а) обыкновенное уравнение:

фГ + W + 0 + 2)1 Ф1 + Х{1 + 2f Ф, = о, (9.27)

совпадающее с уравнением (9.13) при 5 = Я. Интересующее нас решение должно быть антисимметричным и удовлетворять условиям Oi = 0, dOi/dO = 0 при 6=±а. Последние условия вытекают из равенства нулю напряжений на боковых сторонах клина. Из этих условий получается выражение для Oi с точностью до безразмерного постоянного множителя р

Oi = р [(Я. + 2) cos {к + 2)а sin XQ - k cos Ха sin {X + 2) 6], (9.28) л также характеристическое уравнение для определения X

{X + 1) sin 2а - sin 2 (?. -f 1) а = О, (9.29)

совпадающее с условием обращения в нуль функции (9.20). Как было указано выше, при < а я уравнение (9.29) имеет действительный отрицательный корень, .в то время как при О < а < < наименьший корень этого уравнения - нуль. Поэтому при € <а<а функция ф(г], 6, а) в выражении для решения неавтомодельной задачи при г]-оо (при стягивании к нулю области приложения нагрузки) стремится к конечному не равному нулю пределу, так что развитые в п. 9.1 соображения размерности оказываются применимыми и приводят к правильному окончательному результату. При < а я предельное решение записывается в виде

W = (Л/г) ЦХ + 2) cos {Х + 2)а sin XQ - X cos Ха sin {X + 2) 9], (9.30)

где константа А = рМг уже не может быть определена, если непосредственно искать автомодельное решение второго рода. Она может быть найдена лишь, если проследить выход решения неавтомодельной задачи на автомодельную асимптотику. Действительно, асимптотическое представление решения неавтомодельной задачи при больших г имеет в случае < а я главный член, совпадающий с (9.30) (ср. (9.23)), если принять

Л= , . V ol7 Li4 л \p{r)r-dr, (9.31) [sin 2а - 2а cos2 (Я + 1) а]

Таким образом, асимптотика решения, получающегося, если стягивать к вершине область приложения сил на боковых сторо-