Могло показаться, что различие типов автомодельных решений связано с наличием или отсутствием интегрального закона сохранения, справедливого и на неавтомодельной стадии. Рассмотренная в главе 4 задача о коротком ударе показала, что это не так -дело в характере предельного перехода от неавтомодельного решения к автомодельной асимптотике.

Дадим теперь формальную классификацию автомодельных зависимостей, и в частности автомодельных решений задач математической физики. Напомним (см. главу 1), что, согласно анализу размерностей (П-теореме), любая зависимость между п+1 размерной величиной вида

a = f (ai, Uk+u n) (5.1)

может быть представлена в виде

П = Ф(П1, П, ,), (5.2)

где параметры П, IIi, ..., Пп- безразмерны:

(5.3)

Здесь предполагается, что определяющие параметры ..., ak имеют независимые размерности и размерности остальных определяющих параметров ak+u ..an выражаются через размерности параметров ai, ..., а.

Рассмотрим теперь некоторый определяющий параметр аи+и В традиционных рассуждениях на физическом уровне параметр считается существенным, т. е. на самом деле определяющим явление, если соответствующий безразмерный определяющий параметр Пг не слишком велик и не слишком мал, скажем, сугубо условно, лежит между одной десятой и десятью. В противном случае считается возможным влиянием этого параметра пренебречь.

Такое рассуждение действительно справедливо, если сущест: вует конечный отличный от нуля предел функции Ф в соотношении (5.2) при стремлении параметра к нулю или бесконечности и постоянных остальных параметрах подобия. Это, вообще говоря, совершенно необязательно. На самом деле для справедливости приведенного рассуждения требуется даже нечто большее: функция Ф должна достаточно быстро стремиться к пределу при Пг, стремящемся к нулю или бесконечности, чтобы при Пг < 0,1 или Ui > 10 эта функция принимала значения, достаточно близкие к предельным. Если все эти условия действительно выполнены, то при достаточно малых или достаточно больших Пг функцию Ф в (5.2) можно с нужной точностью заменить функцией на единицу меньшего числа аргументов:

П = Фо (П1, П, ь П,+ 1, Unk), (5.4)

п - k-\ аргумент

где Фо(П1, Пг-1, ПгЧ1, Пп-fe)-предел функции Ф(П1, ... ..., Пг-1, Пг, П,+1, ..., Ип-к) при Пг, стремящемся к нулю (бесконечности). В таких случаях говорят о полной автомодельности явления по параметру П.

Однако в общем случае функция Ф при возрастании или убывании параметра подобия Пг, очевидно, не обязательно стремится к пределу и притом конечному и отличному от нуля, так что, вообще говоря, параметр ak+i может оставаться существенным, как бы мал или велик ни был соответствующий безразмерный параметр Пг.

Пусть, например, при Hi -> О или Пг -> оо функция Ф стремится к нулю или бесконечности. Разумеется, в этом случае величина П остается существенной, как бы мала или велика она ни была: замена функции Ф в (5.2) ее предельным значением при Пг->0, оо приведет к бессодержательному соотношению П = О или П = оо. Следовательно, вообще говоря, просто выбросить параметр П из числа определяющих и заменить в (5.1) и (5.2) функции f и Ф функциями на единицу меньшего числа аргументов в этом случае нельзя: полной автомодельности по параметру Пг- нет. Тем не менее и здесь существует ситуация, когда уменьшить число аргументов и получить соотношение вида (5.4) можно. Именно, предположим, что для рассматриваемой зависимости существует такое число а, что при П О или Пг оо справедливо степенное асимптотическое представление функции Ф:

Ф = П?Ф1(Пь П, 1, П, + 1, П, ,) + о(П?), (5.5)

где функция Ф1 снова зависит от п - k - l аргументов, а второе слагаемое как угодно мало по сравнению с первым при достаточно малых (больших) Пг. В этом случае при достаточно малых (больших) Пг с необходимой точностью справедливо соотношение вида (5.4):

П* = Ф, (Пь П 1, П, + 1, Unk), (5.6)

/2 - - 1 аргумент

где безразмерный параметр П* определяется соотношением

П= nnra/af- ** .. аГ *-а.%,. (5.7)

Таким образом, в этом случае зависимость (5.1) снова записывается через функцию n - k - l аргумента, как и в случае полной автомодельности. Однако, во-первых, вид безразмерного параметра П* уже не может быть получен из соображений анализа размерностей, поскольку величина а этими соображениями не определяется. Во-вторых, в параметр П* входит аргумент ak+u который, таким образом, не перестает быть существенным.

Первоначально введенное А. А. Гухманом еще в 1928 г. [35] понятие автомодельности отвечает по принятой здесь терминологии полной автомодельности по параметру.

Далее, пусть малыми или большими являются два безразмерных параметра подобия и ITj. Пусть при этом для рассматриваемой зависимости при П- и П, независимо стремящихся к нулю или бесконечности, функция Ф стремится к нулю или бесконечности либо вообще ни к какому пределу не стремится. В этом случае, так же как и в предыдущем, параметры и П/ остаются существенными, как бы малы или велики они не были, а следовательно, остаются существенными и соответствующие размерные параметры Uk+i и a+j. Имеется, однако, и здесь исключительный случай, когда число аргументов функции в (5.2) сокращается и получается соотношение вида (5.4). В самом деле, пусть существуют такие числа аир, что при Пг, Hj, стремящихся к нулю или бесконечности, функция Ф имеет степенное асимптотическое представление:

ф=:П?Ф2(Пу/пР, Пь П, ь П,ч-1, ...

П,. 1, П/ + ь Unk) + o(Uf\ (5.8)

где последнее слагаемое как угодно мало по сравнению с первым при достаточно малых (больших) Пг, Hj. В этом случае при достаточно малых (больших) Пг, Hj справедливо соотношение вида (5.4)

П* = Ф2 (П**, Пь П, 1, П,4-1, Пу 1, П/ + 1, Tln-kb

п - k - \ аргумент

(5.9)

где П* по-прежнему определяется соотношением (5.7), а безразмерный параметр П** - соотношением

П** = ПП-Р = а,4-;/а:*-*\.. а;*--*Ч+.- (5-10)

В этом случае точно так же, как и в случае полной автомодельности, зависимость (5.1) записывается через функцию n - k-\ аргументов, но уже форма двух безразмерных параметров П* и П** не может быть получена из соображений анализа размерности, поскольку эти соображения принципиально не могут дать величин аир. Кроме того, в параметр П* входит аргумент а+гч а в параметр П** -оба аргумента a+j, а+г, которые, таким образом, не перестают быть существенными. Аналогичные подклассы можно выделить, когда стремятся к нулю или бесконечности три и более безразмерных определяющих параметра. Таким образом, в указанных исключительных случаях, несмотря на то что полной автомодельности по параметрам подобия Пг, ftj, ... нет и определяющие параметры а+г, a+j... остаются существенными, как бы малы или велики ни были эти параметры подобия, происходит уменьшение количества аргументов функции Ф, определяющей интересующую нас зависимость; при этом получается такое же, как в случае полной автомодельности, соотношение вида (5.4).