рождения однородной изотропной турбулентности. Этот пример еще раз подчеркивает недостаточность в общем случае анализа размерности для определения показателей степени в автомодельных переменных.

Приведенные примеры демонстрируют разнообразие возможных структур спектра нелинейных задач на собственные значения, возникающих при построении автомодельных решений.

7.6. Устойчивость инвариантных решений

Постановка вопроса об устойчивости автомодельных решений отличается определенным своеобразием. В этом и следующем параграфах намечается и иллюстрируется на нескольких показательных примерах общий подход к исследованию устойчивости инвариантных, и в частности автомодельных, решений. Изложение большой массы накопленных в этой -области конкретных результатов далеко вышло бы за рамки настоящей монографии.

Простой пример сразу введет нас в курс дела. Уравнение

dtu = dlxu + f{u), (7.56)

где функция f{u) ограничена вместе со своей производной и удовлетворяет условиям

f{u) = 0 при ii<w<Wi + A; f(w2) = 0;

f{u)>0 при щ + А<и< W2, (7.57)

представляет собой простейшую модель теплового распространения пламени {и - температура), если плотность газовой смеси постоянна и концентрация горючего и температура в любой момент связаны законом подобия (это было показано в главе 6). Уравнение (7.56) имеет решения типа бегущей волны:

w = [/(C); t = xlt + c, (7.58)

где с - произвольная постоянная, а скорость распространения единственным образом определяется решением нелинейной задачи на собственные значения- уравнения

к dU/dl + X dV/di + f{U) = О, (7.59)

получающегося подстановкой (7.58) в (7.56), при условиях

U(-oo) = U2; и{оо) = щ, (7.60)

Как нетрудно показать, решение (7.58) представляет собой монотонно убывающую функцию (рис. 7.3). Действительно, минимум функции U{Q, лежащий между U = щ и U = U2y невозможен, так как в этой точке должны были бы выполняться соотношения dU/d = О, d/d > О, f{U) > О, что в силу уравнения (7.59) не-

возможно. Максимум этой функции в тех же пределах тоже невозможен, поскольку при этом между U = щ и U = U2 должен был бы существовать минимум, что невозможно.

Устойчивость решения (7.58) имеет первостепенное значение. Действительно, как уже не раз говорилось, инвариантное решение (7.58) представляет физический интерес прежде всего как асимптотическое представление определенного класса решений невырожденной начальной задачи для уравнения (7.56) с какими-то начальными данными переходного типа. Если бы это решение было неустойчивым, так что малые возмущения, наложенные на соответствующее ему распределение температуры в некоторый момент, приводили бы к большим отклонениям распределения тем-

Рис. 7.3. Распределение темпе- у ратуры в бегущей волне моно-Щ тонно.

пературы в последующие моменты, то оно (решение) было бы физически бессмысленным.

Здесь необходимо, однако, точно определить, что такое устойчивость и неустойчивость. Пусть в некоторый момент t = to распределение температуры определяется соотношением

и(X, g = U(x--kto + c) + бср(X), (7.61)

где б - малый параметр, а ф(х) -функция, равная нулю вне некоторого конечного интервала, так что распределение температуры соответствует рассматриваемому решению типа бегущей волны плюс малая добавка. На первый взгляд, представляется естественным такое определение устойчивости бегущей волны: если решение любой возмущенной начальной задачи с данными типа (7.61) представляется при t > Ub виде

и{х, /) = [/(С) + ш(С, О, (7.62)

где функция w{z t) стремится к нулю при too, то исходное решение устойчиво, в противном случае - нет.

Именно такое определение устойчивости и было принято Ро-зеном [189], который пришел к выводу о возможности в рассматриваемой задаче неустойчивости, указал некоторый приближенный критерий устойчивости решения и т. д.

На самом деле такое определение устойчивости недостаточно и должно быть заменено другим. Это обстоятельство оказалось существенным для постановки вопроса об устойчивости бегущих

волн, автомодельных и вообще инвариантных решений; оно было выяснено в работе [18].

Действительно, как было показано ранее, решения типа бегущей волны инвариантны относительно однопараметрической группы сдвига по координате и времени. Поэтому решение (7.58) определяется соотношениями (7.59) и (7.60) с точностью до постоянной. Следовательно, и определение устойчивости бегущей волны тоже должно обладать соответствующей инвариантностью. В самом деле, если возмущенное решение стремится при -оо не к исходному невозмущенному решению, а к сдвинутому (рис. 7.4), то нет оснований считать этот переход неустойчивостью. Инвариантное определение устойчивости бегущей волны (7.58) состоит, таким образом, в следующем: это решение устой-

Рис. 7.4. Возмущенное решение (/) стремится к сдвинутому невозмущенному (2), и нет оснований считать это неустойчивостью. . Щ

чиво, если найдется такое постоянное а, что решение возмущенной задачи представляется при > в виде

и{х, t) = Ug + a) + wg, t\ (7.63)

где оу(, t) стремится к нулю при -оо. В противном случае решение считается неустойчивым.

В дальнейшем мы ограничимся исследованием устойчивости в линейном приближении. При малых б величина а должна быть мала. Разлагая f/(C + a) в ряд и ограничиваясь в соответствии с принятым линейным приближением первым членом разложения, переформулируем определение устойчивости (7.63) так: если найдется такое постоянное а, стремящееся к нулю вместе с б, что решение возмущенной задачи представляется в виде

и (X, t) = U (С) + aU (S) + W {I. t), (7.64)

где оу(, t) -Q при t-oo, то невозмущенное решение устойчиво.

Докажем устойчивость бегущей волны (7.58) в указанном смысле при любых f(w), удовлетворяющих условиям (7.57). Положим в уравнении (7.56) и{х, t) = U{t)+ 8v {t t). Отбрасывая члены порядка малости по б выше первого и используя то, что и {t) удовлетворяет уравнению (7.59), получаем для у (С, t)

dtv - Xdv = yi dv + f [U (b ] V, (7.65)

Применяя метод разделения переменных, строим решение начальной задачи для уравнения (7.65) с произвольным, но обра-