10. Автомодельность связывается [19, 109] с нелинейной, вообще говоря, задачей на собственные значения, существование решения которой обеспечивает существование автомодельной промежуточной асимптотики в целом. Оказывается нетривиальным вопрос о множестве собственных значений в этой задаче - спектре, определяющем возможные значения показателей степени в автомодельных переменных. Все просто, если спектр состоит из одной точки, как в рассмотренной выше модифицированной задаче теплопроводности. Если же спектр состоит более чем из одной точки, в частности, если он непрерывен, показатели степени в автомодельных переменных зависят от начальных условий исходной неавтомодельной задачи. Замечательный пример здесь доставляет автомодельная интерпретация известного уравнения Кор-тевега-де Фриза (см. главу 7).

В последнее время идеи, связанные с концепцией неполной автомодельности и автомодельных решений второго рода, были использованы для решения многих важных задач, представляющих самостоятельный, неиллюстративный интерес.. Некоторые из этих задач рассматриваются ниже. Особое место занимает анализ неполных автомодельностей в теории турбулентности, где полная математическая постановка задачи до сих пор отсутствует и решающее значение при оценке автомодельности принадлежит сопоставлению законов подобия с данными эксперимента.

Соображения автомодельности широко использовались физиками в квантовой теории поля и теории фазовых переходов (физики называют автомодельность скелингом ). В этих теориях нет точно сформулированных краевых задач, и поэтому предлагаемые рецепты и высказываемые утверждения носят в значительной мере интуитивный характер. На самом деле скелинг это в точности то, что мы сегодня понимаем под неполной автомодельностью. Мне кажется, что тем, кто интересуется скелингом, полезно взглянуть, как работает это понятие в других ситуациях, где действительно имеются точные формулировки краевых задач и возникновение автомодельной асимптотики можно непосредственно проследить.

Сказанное определяет содержание книги; более полное и точное представление о нем дает оглавление. Краткое изложение анализа размерности и подобия, данное в главе 1, оказалось необходимым, поскольку анализ размерности существенно используется во всем дальнейшем изложении. Наше изложение анализа размерностей и подобия в целом существенно отличается от имеющихся в литературе, хотя в основных идеях следует превосходной и незаслуженно забываемой в последнее время книге Бридж-мена [116].

Глава 1

АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЕ

1.1. Размерность

Физические величины выражаются числами, которые получаются путем измерения - прямого или косвенного сравнения с соответствующими единицами измерения. Единицы измерения разделяются на основные и производные. Основные единицы измерения задаются произвольно в виде тех или иных эталонов, искусственных или природных; производные единицы измерения получаются из основных в силу определения физической величины, которое всегда является указанием способа ее измерения, по крайней мере мысленного. Так, скорость, по определению, представляет собой отношение расстояния, проходимого за определенный промежуток времени, к величине этого промежутка времени. Следовательно, за единицу скорости можно (но не обязательно!) принять отношение единицы длины к единице времени в данной системе. Точно так же плотность, по определению,- отношение некоторой массы к заключающему ее объему, поэтому за единицу плотности можно принять отношение единицы массы к единице объема, т. е. к кубу единицы длины.

Совокупность основных единиц измерения, достаточная для измерения характеристик рассматриваемого класса явлений, на-зывается системой единиц измерения. Так, в механике часто употребляется система единиц измерения СГС, в которой за единицу массы принят I грамм (г) - 1/1000 массы некоторого специально изготовленного и тщательно сохраняемого эталона, за единицу длины-1 сантиметр (см) - 1/100 длины другого эталона и за единицу времени-1 секунда (с) - 1/86400 доля средних солнечных суток 2. Единицей скорости в этой системе является 1 см/с, единицей ускорения-1 см/с, единицей силы-1 дина = = 1 г. см/с. Подчеркнем, что в определении системы единиц измерения не содержится требования ее минимальности. Можно рассматривать, например, систему, в которой единицей массы является 1 г, единицей длины-1 см, единицей времени-1 с, а единицей скорости - 1 узел (0,5 м/с).

Назовем классом систем единиц измерения совокупность систем единиц измерения, отличающихся между собой только величиной основных единиц измерения. Упомянутая только что си-

Более точное определение этого эталона: 1 650 763, 73 длин волн в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2pio и Ъй атома криптона-86.

2 Более точное определение секунды: 1/31 556 925,9747 часть тропического года на О января 1900 г. в 12 ч эфемеридного времени.

схема единиц измерения СГС входит в класс систем единиц измерения, в котором основными единицами измерения являются

г/М, CM/Z, с/Г, (1.1)

где М, L, Г -отвлеченные положительные числа, показывающие, во сколько раз уменьшаются основные единицы массы, длины, времени при переходе от исходной системы СГС к другой системе данного класса. Этот класс обозначается MLTK К классу MLT принадлежит, в частности, широко внедряемая в последнее время в употребление система СИ, в которой единицей массы считается 1 килограмм (кг) = 1000 г -полная масса упомянутого выше эталона массы; за единицу длины принимается 1 м = 100 см - полная длина упомянутого выше эталона длины; за единицу времени - 1 с. Таким образом, при переходе от системы СГС к системе СИ М = \ : 1000, L = 1 : 100, Т =1. Часто употребляются также системы класса FLT, в котором основные единицы измерения имеют вид

KFc/F, CM/i, с/Г. (1.2)

Единица силы кгс - килограмм-сила - сила, сообщающая массе, равной массе эталона килограмма, ускорение равное 9,80665 м/с Размерностью физической величины называется функция, определяющая, во сколько раз изменится численное значение этой величины при переходе от исходной системы единиц измерения к другой системе внутри данного класса. Размерность величины ф принято, по предложению Максвелла, обозначать через [ф]. Специально подчеркнем, что размерность зависит от класса систем единиц измерения. Величины, численное значение которых одинаково во всех системах единиц измерения внутри данного класса, называются безразмерными; все остальные величины называются размерными. Размерность безразмерной величины равна еди-нице.2

Укажем несколько примеров. Если единицу массы уменьшить в М раз, единицу длины в L раз, единицу времени в Г раз, то численное значение любой измеряемой силы возрастает в MLT--раз. Таким образом, для размерности силы в классе систем MLT имеем

[F] = MLT~\ (1.3)

Аналогично, размерность массы в классе FLT имеет вид [М] = FTL~\ размерность энергии в классе MLT имеет вид [£] = ML4- и т. д.

Обозначение класса систем единиц измерения получается последовательным выписыванием символов величин, единицы измерения которых* приняты за основные. Одновременно эти символы обозначают число раз, во сколько уменьшается соответствующая единица измерения при переходе от исходной .системы к другой системе данного класса.

2 Обычно принято называть размерностью выражение единицы измерения данной величины через основные единицы. Определение, данное выше, является по существу уточнением этого.