щающимся в нуль вне некоторого конечного интервала, начальным распределением возмущения 0) в виде ряда Фурье

v= Z с е- Ч{С, (7.66)

где функция Рп) --я собственная функция оператора, определяемого уравнением

% dWIdl + yid W/dl +{\i + r lU m 4 = 0 (7.67)

и условиями стремления к нулю быстрее любой степени при g= ±оо. Здесь \1п - п-е собственное значение.

Коэффициенты Сп в формуле (7.66) определяются разложением начального возмущения у(, 0) в ряд по функциям Ч(?, рп). Согласно формуле (7.66), если будет показано, что все собственные значения \in неотрицательны, то будет доказана устойчивость бегущей волны в смысле соотношения (7.64).

Далее, продифференцировав (7.59) по :

()+ Ш + [<га = 0, (7.68)

получаем, что dU/dt, удовлетворяет уравнению (7.67) при р, = 0. Поскольку dU/dl экспоненциально стремится к нулю при ±оо, мы видим, что dU/dZ с точностью до множителя совпадает с собственной функцией, отвечающей р, = 0. Из проведенного выше доказательства монотонности функции U{Z) следует, что dU/d при конечных в нуль не обращается. Однако собственная функция оператора (7.67) имеет нули в числе, равном ее порядковому номеру. Следовательно, dU/d отвечает нижнему собственному значению. Поскольку соответствующее собственное значение равно нулю, отрицательных собственных значений в задаче нет; все ЦпО. Что же касается p,o=0, то это собственное значение, в согласии со сказанным выше, устойчивости не мешает, поскольку соответствующая собственная функция с точностью до постоянного множителя равна dU/dt и вклад этой собственной функции как раз соответствует сдвигу бегущей волны. Таким образом, устойчивость бегущей волны (7.58) в сформулированном смысле доказана.2

Ясно, что в достаточно широких для наших целей предположениях изложенные соображения имеют вполне общий смысл. В частности, они легко переформулируются применительно к устойчивости автомодельных решений.

Действительно, уравнение (7.67) приводится к самосопряженному виду, если положить в нем W=e(p. Однако множитель ев нуль не обращается, а для самосопряженного оператора сформулированное свойство, как известно, имеет место.

2 Подчеркнем, что проведенное рассуждение доказывает устойчивость пламени /только при указанных предположениях. В частности, если подобие полей концентрации и температуры не имеет места (например, при горении пороха)> возникает неустойчивость.

7.7. Устойчивость автомодельных решений

Как мы видели автомодельные решения определяются непосредственным построением с точностью до некоторой константы Л, которая для автомодельных решений первого рода находится из законов сохранения, а для автомодельных решений второго рода может быть найдена только прослеживанием эволюции неавтомодельного решения, поскольку законы сохранения принимают здесь неинтегрируемую форму.

По определению, автомодельное решение устойчиво, если решение всякой возмуиенной задачи с достаточно малыми возмущениями представляется в виде автомодельного решения, отве-чаюшего измененной, вообие говоря, константе А плюс некоторая добавка, отношение которой к невозмуиенному решению стремится к нулю при t-oo.

Опираясь на это определение, проведем исследование устойчивости решения модифицированной задачи о тепловом источнике, рассмотренной в главе 3.

Как показано в главе 3 с использованием численного счета, автомодельная промежуточная асимптотика решения начальной задачи для уравнения

ди = кд1хи при dfU >0; dtU==nidlxU при dtUO (7.69)

имеет при к вид автомодельного решения второго рода

u = A{yityff{l, е); 1 = х/; e==Xi/x, (7.70)

где функция f(g, е) выражается через функции параболического

цилиндра. Для автомодельного решения (7.70) при а: < goV

производная dtu<0, а при {xllo /кt dtu>0y так что смена коэффициента в уравнении (7.69) происходит при

x=±lo/t. (7.71)

Постоянные а и go находятся из системы уравнений

Da-\-2 {у л/2) = 0; М (-1 - а/2, V2, = 0. (7.72)

Рассмотрим теперь в соответствии с указанной выше общей процедурой аналитического исследования устойчивости решение возмущенной начальной задачи, начальное условие для которого при t = to можно без потери общности записать в виде

и {X, to) = [Af (Wo, е) + bvo(W)] Ш (7.73)

Для удобства неавтомодельная переменная отождествляется со временем t.

где б -малый параметр, а функция vo{l) обращается в нуль вне некоторого конечного интервала по I. В линейном приближении при t>to

и{Ху ) = (к/) 0-ь-)/2[Лf(, B) + 6t;(E, f)], (7.74

где v(l, т) -возмущение. Вместо времени t удобно для возмущения взять в качестве независимой переменной т==1п(/о). Поверхности Xi{t) и X2{t), на которых обращается в нуль dtU, вследствие возмущения также смещаются, так что

(О = (?о + Pi W) V; 2 (t) = -Но + Р2 (т)) (7.75)

Действительно, возмущение не обязано быть симметричным, поэтому Pi(t) Ф2{г), Подставляя возмущенное решение (7.74), (7.75) в основное уравнение, получаем уравнение для возмущения при i > О в виде

dv = ediiv + {l/2)diV + {l+a)v/2 при 0<&<!о;

d,v = едУ + (1/2) d,v + (I + а) t;/2 + [(е - I) Л/6]df/dt

при ?o<H<?o + Pi.W (7-76)

d,v = дУ + (1/2) dv + {l+a) v/2 при ?о + Pi (т) < & < сх)

и аналогичное уравнение при < 0.

Далее, из (7.74) получаем выражение для производной dtU возмущенного решения:

dtU = (yjr-m{[{l+a)/2]lAf{ly e) + bv{l, т)]-

Полагая в этом соотношении S = Eo+Pi(t), линеаризуя его и имея в виду, что Що) = 0 и dtu = 0 при I = go+PiCt), получаем:

b\ d,v - (1 + а) vl2 - (1/2) dv\ - (1 + а/2) АГ (Ъ) Pi (t) = О,

откуда следует, что смещение границы пропорционально малому параметру б. Линеаризуя (7.76), получаем для v{l, т) уравнение

d,v = гдУ + т + (1 + а) t/2 = О при UI < Ы

d,v = дУ + (1/2) + (I + а) t/2 = О при U > 1, (7.77) При I = go функции V и dv должны быть непрерывны. В самом деле, из второго уравнения (7.76), интегрируя по от g = go до I = go+Pi(t), получаем:

div = [d,v - m dv--{l+a) v/2]dl -