ния частиц на динамику потока можно ожидать существования такого режима течения, при котором поток вбирает в себя максимально возможное при заданной динамической скорости и прочих параметрах количество взвеси. Этот режим, который мы будем называть режимом предельного насыщения, должен определяться свойствами основной массы потока, т. е. описываться особым решением системы (12.23), которое, в свою очередь, должно определяться только параметрами, входящими в дифференциальные уравнения. Тем самым определение режима предельного насыщения не требует задания граничного условия для концентрации взвеси.

Система (12.23) инвариантна относительно группы преобразований

S = s/a; Z=az; u = U + , (12.25)

где а>0, р -параметры группы, так что, подставляя (12.25) в (12.23), мы получаем в переменных S, U, Z ту же систему (12.23). Пусть особое решение, отвечающее режиму предельного насыщения, определяет градиент скорости и концентрацию взвеси соотношениями

dzU = f{z); s = g(z). (12.26)

Однако особое решение определяется только самой системой и поэтому тоже должно быть инвариантным относительно группы (12.25):

d,U = fiZ); S = g(Z),

Выражая [/, 5, Z через и, s, г я а, получаем для функций / и g функциональные уравнения

f (Z) = af iaz); g {z) = ag (az). (12.27)

Решение этих функциональных уравнений получается элементарно:

f = Q/; g = C2lz, (12.28)

где С\ и С2 -постоянные, подлежащие определению. Подставляя в (12.23) соотношения

du = Cxlz\ s = C2lz; Ко = ag-C2/C?= const, (12.29)

получаем

C = ujyi{l - Ко)(Ко) = Jxco; co = a/exi/*, (12.30)

откуда находится конечное уравнение для определения постоянного для режима предельного насыщения числа Колмогорова Ко:

со = (1 - Ко) (Ко). (12.31)

Однако Ф/ - невозрастающая функция своего аргумента, ф(0)= 1, а Ко по своему физическому смыслу заключено между

нулем и единицей. Отсюда следует, что при со>1 корня уравнения (12.31) не существует, а при со<1 корень существует и притом только один. Стало быть, для существования режима предельного насыщения необходимо условие

со< 1. (12.32)

Физический смысл условия (12.32) прозрачен. В самом деле, величина динамической скорости u.j пропорциональна средней квадратичной пульсации скорости. Таким образом, если пульсации велики, так что за время подъема некоторого объема жидкости турбулентной пульсацией твердые частицы внутри этого объема не успевают опуститься, то эти частицы попадают в ядро потока и взвешиваются в нем. В противном случае частицы переносятся потоком в придонной области, в его ядро не попадают и на динамику течения в основной массе потока не влияют.

Из первого уравнения (12.29) с учетом (12.30) при со<1 получаем

i = 31n+const. (12.33)

Это означает, что в предельно нагруженном частицами потоке, который может существовать при со<1, распределение скоростей остается, как и в чистой жидкости, логарифмическим; однако при этом как бы происходит уменьшение константы Кармана: вместо х она становится равной хсо. Следовательно, при тех же внешних условиях (той же динамической скорости) поток под действием частиц ускоряется по сравнению с потоком чистой жидкости.*

Поскольку захват потоком частиц осуществляется турбулентными пульсациями, турбулентная энергия должна уменьшаться. Действительно, турбулентная энергия единицы массы для насыщенного частицами потока равна

6 = йo(l-Ko)* (12.34)

где &о = /7 -величина турбулентной энергии для потока чистой жидкости при той же динамической скорости. Однако сопротивление турбулентного потока обусловливается интенсивностью пульсаций, следовательно, оказывается, что взвешенные частицы уменьшают турбулентное сопротивление. Разумеется, этот вывод справедлив для указанных выше условий горизонтального или близкого к горизонтальному потока, малой объемной и массовой концентрацией частиц и т. д. В подобных условиях уменьшение сопротивления потока и константы Кармана под действием взвешенных частиц неоднократно отмечалось экспериментаторами в лабораторных опытах (В. Ванони [212], Г. А. Эйнштейн и Нинг Чей

Этот факт известен гидрологам. Так, например, по измерениям на р. Янцзыцзян в Китае, известной большим количеством переносимых ею наносов, постоянная Кармана составляет 0,2, что вдвое меньше, чем для однородной жидкости.

[126]). Именно этим эффектом объясняются [16] пылевые бури в атмосфере Земли, а также Марса, которые в отсутствие пыли были бы безобидными ветерками. Этим же эффектом объясняется ускорение движения рек, несущих большое количество взвешенных наносов, которое также неоднократно отмечалось экспериментаторами-гидрологами.

Изложенная выше теория переноса взвешенных частиц турбулентным потоком была развита в работах А. И. Колмогорова [56], Г. И. Баренблатта [5, 7]; вывод уравнений режима предельного насыщения на основе групповых соображений был дан в работе Г. И. Баренблатта, Г. С. Голицына [16].

12.4. Верхний термоклин в океане - бегущая тепловая волна

Стратификация в океане создается неравномерным по глубине распределением температуры и солености. В отличие от стратификации взвешенными частицами, рассмотренной в предыдущем пункте, здесь имеет место перемешивание стратифицирующего агента с жидкостью на молекулярном уровне. При этом турбулентность, а следовательно, и тепло- и массообмен оказываются тесно связанными с внутренними волнами. Мы убедимся в этом, рассмотрев показательную задачу о распределении температуры в верхнем термоклине океана в умеренных широтах в осенне-зимний период, когда верхний термоклин наиболее ясно выражен и происходит его опускание.

Тепло- и массообмен на поверхности океана, в том числе опускание тяжелых жидких частиц от обрушивающихся волн, приводит к появлению своеобразного пограничного слоя океана, в котором на распределение температуры (и солености) влияет граница вода-воздух. Эта область -верхний деятельный слой океана - состоит из верхнего однородного слоя, где температура почти постоянна, и подстилающего верхнего терлюклина, где температура, напротив, меняется резко (рис. 12.1). Толщина верхнего деятельного слоя открытого океана на порядок меньше глубины океана. Поэтому можно рассматривать верхний термоклин как полубесконечную область /г<г<оо (г - глубина, отсчитываемая от поверхности океана, h - глубина верхнего однородного слоя) и принять, что избыточная температура 9 обращается в нуль на бесконечности. Под избыточной температурой здесь понимается разность между текущей температурой и средней годовой температурой в данной точке. (При отсутствии тепло- и массообмена на границе вода-воздух в данной точке установилась бы средняя годовая температура.)

Если осреднить данные натурных наблюдений за время около месяца, то влияние различных кратковременных процессов (суточные вариации, кратковременные случайные температурные аномалии и т. п.) исчезнет. Осредненные параметры верхнего деятельного слоя: скорость заглубления верхнего однородного слоя