Резка промышленных проемов: www.rezkabetona.su 
Навигация
Популярное
Публикации «Сигма-Тест»  Промежуточная асимптотика (развивающееся направление) 

1 2 [ 3 ] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82

где X, xi -константы, вообще говоря, различные. Казалось бы, применяя анализ размерностей, можно построить решение типа мгновенного точечного источника для уравнения (17) при совершенно так же, как это было только что проделано для классического уравнения теплопроводности (xi = x). Действительно, к параметрам /, х, Q, г, определяющим решение, в этом случае добавляется постоянный параметр xi той же размерности, что и х. Следовательно, на первый взгляд, решение должно представляться в той же форме (12), а дополнительный постоянный безразмерный параметр xi/x не меняет дела. Можно показать, однако, что при xi =# X такого решения просто не существует!

Разрешение возникшего парадокса состоит в следующем. Нас интересует в действительности не решение задачи о мгновенном точечном источнике тепла, а поведение при больших временах решения, отвечающего выделению в начальный момент конечной порции тепла в области малого, но конечного диаметра X. В классическом случае (xi = х) это одно и то же, поэтому мы и искали сначала по инерции решение типа точечного источника также и при XI ф X. Если, однако, тепло в начальный момент сосредоточено в области конечного размера Я, то в задаче появляется новый параметр Х размерности длины и новый безразмерный параметр

П2 = ?УУ==л. (18)

Параметр ц сразу же портит авто1одельность, так как решение перестает выражаться через функцию одной переменной, а имеет вид

= [Р(л/ЛФа ./ 0. (19)

Как и при XI = х нас интересует поведение решения при малых Г]. Однако при Х1=И=х просто перейти в (19) к предельной форме решения, отвечающей т] = 0, нельзя. Причина этого тривиальна: при малых ц функция Фведет себя следующим образом:

Ф-Л Ф(?, х,/х), (20)

где ф - конечная величина, а - постоянная, зависящая от xi/x и не равная нулю при xix, а при xi = х обращающаяся в нуль. Если попытаться перейти к пределу, то в правой части- получится либо нуль, либо бесконечность, в зависимости от знака а, т. е. получится бессодержательное соотношение. Не переходя к пределу, подставим поэтому выражение (20), считая ц малым, т. е. время большим или I малым, в общее представление решения (19). При этом получится автомодельное представление решения исходной неавтомодельной задачи, справедливое при малых X и(или) больших временах:

= [Д)]фа. >iM, Л const О/Л (21)

2 Заказ № 208 7



Выражение (21) показывает, что представление решения при больших временах дается уже не решением типа точечного источника, а другим автомодельным решением. Как видно, это решение таково, что при уменьшении размера области начального выделения тепла I, следует для сохранения асимптотического поведения решения при больших временах неизменным менять мощность источника Q так, чтобы произведение QX оставалось постоянным.

Если теперь подставить выражение решения (21) в уравнение (17), то получим для функции ф обыкновенное дифференциальное уравнение, в которое величина а входит как параметр. Оказывается, что при произвольном а это уравнение не имеет решения, обладающего необходимыми свойствами. Однако для каждого значения параметра xi/x имеется значение а, при котором нужное решение обыкновенного дифференциального уравнения существует. Таким образом, для определения ф и параметра а получается нелинейная задача на собственные значения. Константа А при таком непосредственном построении автомодельной промежуточной асимптотики остается неопределенной. Найти ее из интегрального закона сохранения типа (16) при щфк нельзя, поскольку в этом случае суммарное уравнение баланса тепла принимает неинтегрируемую форму:

d dt

\ гЧ (г, i)dr = {щ к) {гdru)r=r,. (22)

где r = ro{t) - координата точки, в которой в данный момент производная dtu обращается в нуль.

7. Таким образом, поведение решения при больших временах оказалось автомодельным и при щ Ф х, но автомодельность здесь не такая, как при xi = х. Прежде всего параметр размерности длины \, нарушавший автомодельность исходной задачи, из предельного решения не исчез. Далее, анализ размерности в этом случае не позволяет найти автомодельные переменные и установить автомодельность предельного решения исходя из математической формулировки задачи. Действительно, размерность постоянной А заранее неизвестна и должна быть найдена в ходе решения. Наконец, сама константа А оказалась неопределенной. Для ее нахождения следует срастить построенное решение с рещ,е-нием исходной неавтомодельной задачи, например, путем численного счета. (В главе 3 будет показано, что численный счет подтверждает выход решения неавтомодельной задачи на построенную автомодельную асимптотику.)

Своеобразная ситуация возникает и с законами подобия. Анализ размерности позволяет получить с точностью до константы закон затухания температуры в центре в классическом случае xi = X. Действительно, приращение температуры в центре t/max зависит от величин Q, х и /, из которых можно составить только



одну величину размерности температуры: Q{/яt)- и нельзя составить безразмерную комбинацию, так как их размерности независимы. Ясно, что

шах = const Q/(V). (23)

Согласно приведенному выше решению, const = 1/8я/2. Традиционное применение анализа размерностей в предположении о выделении тепла в точке привело бы к такому же закону подобия и при xiФ X, хотя в этом последнем случае такой закон подобия, как видно из (21), не имеет места. На самом деле

шах = const Q7(V)(24)

так что хотя закон затухания тоже степенной, но степень уже не может быть получена анализом размерности. Своеобразие ситуации состоит в том, что заранее, до решения полной задачи, нельзя сказать, можно ли при анализе законов подобия использовать соображения размерности или нет.

Теперь уже легко понять, что происходит в обндем случае. Автомодельные решения всегда получаются для так называемых вырожденных задач, в которых параметры задачи, имеюидие размерность независимых переменных (характерная длина, характерное время и т. д.), равны нулю или бесконечности. В противном случае среди аргументов фигурировали бы отношения независимых переменных к этим параметрам и автомодельности бы не было. Это значит, что при переходе от невырожденных постановок задач, отвечающих конечным значениям параметров, к вырожденным некоторые безразмерные параметры (обозначим их Пь П2, ...) стремятся к нулю или к бесконечности. При этом функция Ф в соотношении (7) может:

1) стремиться к конечному пределу, отличному от нуля;

2) стремиться к нулю, к бесконечности или вообще не стремиться ни к какому пределу, но иметь при малых (больших) П1, П2, . . . степенную асимптотику:

Ф = ПГФ1(П2/П?, ...); (25)

3) не стремиться к конечному пределу и не иметь при малых (больших) Пь П2, ... степенной асимптотики.

В первом случае при достаточно больших (малых) Пь П2, ... можно просто заменить функцию Ф ее предельным выражением, отвечающим значениям параметров П1, П2, ... равным нулю (бесконечности). При этом число аргументов функции соответственно уменьшается, а соответствующие размерные параметры (например, размер области начального выделения тепла при xi = x) оказываются несущественными и выпадают из рассмотрения. Этот случай называется полной автомодельностью по параметрам Пь П., ....

2* 19



1 2 [ 3 ] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82



© 2010 www.sigma-test.ru Санкт-Петербург: +7 (812) 265-34-48, +7 (812) 567-94-10
Разработка и поддержка сайта: +7(495)795-01-39 после гудка 148651, sigma-test.ru(my_love_dog)r01-service.ru
Копирование текстовой и графической информации разрешено при наличии ссылки.