А. Н. Колмогорова состоит в том, что коэффициент обмена импульса К и скорость диссипации энергии 8t в данной точке потока определяются только локальной средней энергией вихрей, в качестве меры которой можно взять величину средней турбулентной энергии единицы массы

Ь = <а2 + г;2+ш2>/2,

и локальным средним размером вихрей или пропорциональным ему внешним масштабом турбулентности /. Анализ размерности приводит стандартным образом к соотношениям

К = 1л/Ь\ 8 = yV7. (11.11)

где, в силу неопределенности масштаба, константу в первом соотношении можно принять равной единице, а постоянная у по оценкам опытных данных близка к 0,5.

Подставляя соотношения (11.10) и (11.11) в уравнения (11.8) и (11.9) и пренебрегая в последнем уравнени1Гчленом, выражающим вклад диффузии турбулентной энергии, получаем основную систему уравнений в виде

I ф dji = а; I Vfc (duf - yjl = 0, (11.12)

где = V/P - динамическая скорость.

Эта система остается пока незамкнутой, так как не определен масштаб турбулентности /. В согласии с п. 11.1, в пристеночной области турбулентного потока с поперечным сдвигом, где динамическая скорость постоянна, масштаб турбулентности / зависит от динамической скорости и, кинематической вязкости v, верти-кальной координаты z и внешнего масштаба Л. Анализ размерностей дает

l = zФl{tl, Re (11.13)

где по-прежнему Re; = az/v и Re = aA/v - соответственно локальное и глобальное числа Рейнольдса. В предположении полной автомодельности по обоим числам Рейнольдса вне непосредственной окрестности стенки функция тождественно равна постоянной, которую удобно обозначить через ху, где у - ранее введенная константа, а х - постоянная Кармана, так что

; = xv2. (11.14)

Подставляя (11.14) в (11.12) и интегрируя получаем:

= (ttjx)ln2-f const; b = ully\ (11.15)

т. е. логарифмический закон распределения скорости (11.5), полученный ранее из более общих соображений. Если предположить,

что автомодельность течения по локальному числу Рейнольдса неполная, то соотношение для масштаба турбулентности примет вид

l = z(uz/vrOu{Re\ (11.16)

откуда и из (11.12) находим

zd,u/u = {uz/v)0{Re); 0(Re,) = у/Ф/(Re,), (11.17)

т. е. соотношение (11.6), также полученное ранее из более общих соображений. Интегрируя это соотношение, получим аналогично предыдущему степенной закон распределения скорости (11.7). Естественно, что степенные законы для распределения скорости получаются и при других способах замыкания. В частности, они получаются во всех вариантах замыкания, предложенных В. В. Новожиловым [78].

11.3. Законы подобия турбулентного пристеночного течения с продольным градиентом давления

Рассмотрим, следуя работе А. М. Яглома и Б. А. Кадера [105], течение в пристеночной области замедляющегося турбулентного потока с положительным продольным градиентом давления. Поток по-прежнему считается однородным в продольном направлении, так что определяющими параметрами течения являются: динамическая скорость и, плотность р, коэффициент кинематической вязкости жидкости V, расстояние от стенки z и внешний масштаб А (в данном случае ширина канала или толщина пограничного слоя). Все эти величины были определяющими параметрами для рассмотренного в п. 11.1 пристеночного течения в отсутствии продольного градиента давления. Кроме того, в рассматриваемом здесь течении возникает новый определяющий параметр - продольный градиент давления dp/dx, который в силу однородности потока в направлении оси х, выбираемом вдоль стенки, не зависит от продольной координаты и является, таким образом, постоянным. Поскольку [dpldx\= в потоке дополнительно к локальному Re/ = uzjv и глобальному Re, = u..,Alv числам Рейнольдса появляется новый параметр подобия

{dpldx)v/pul (11.18)

Обратная этому параметру величина

pul/{dp/dx)v=Rep (11.19)

играет роль числа Рейнольдса, основанного на динамической скорости, кинематической вязкости и линейном масштабе pu\/{dp/dx)y

отвечающем продольному перепаду давления. Ясно, что имеет значение относительная величина всех трех чисел Рейнольдса. Мы предполагаем, имея в виду описание имеющихся эксперименталь-

ных данных, что Rep хотя и велико, но все же много меньше глобального числа Рейнольдса. Пусть теперь мы находимся в таком диапазоне расстояний от стенки г, что локальное число Рейнольдса Re много больше единицы, но все же Rez-CRcp. В этом диапазоне изменения локального числа Рейнольдса влияние касательного напряжения более существенно, чем влияние продольного перепада давления. Поэтому остается справедливым все, сказанное в п. П.Ц и есть основания ожидать неполной автомодельности течения по локальному числу Рейнольдса с показателями степени, зависящими уже не только от глобального числа Рейнольдса, но и от Rep. Весьма показательно поведение течения в другом промежуточном диапазоне локальных чисел Рейнольдса, где

Rep<Re;<Re,

так что

v/tt < pul/(dp/dx) < 2Г < Л. (11.20)

В этом диапазоне расстояний от стенки влияние продольного перепада давления более существенно, чем влияние касательного напряжения, поэтому естественно принять в качестве основных определяющих параметров с независимыми размерностями величины р, г и dp/dx. Помимо этих величин характеристики течения могут зависеть от динамической скорости и, вязкости v и внешнего масштаба Л. Анализ размерностей дает

dU/dz = {dp/dx)/pz Ф(П1, П2, Пз); П1 = Л/2; n2 = jVKp7e; l\ = vlzAj{dpldx)lp. (11.21)>

В силу соотношения (11.20), определяющего относительные порядки величин, получаем

Пз = .

Jz (dp/dx)/р 1 QulKdpfdx)

\-Ч2

[(dpldx)l\i upui/(dp/dx) [pull(dp/dx) j

<1. (11.22)

Естественно для начала сделать предположение о полной автомодельности по всем трем безразмерным параметрам, входящим в универсальную функцию Ф в выражении (11.21). Тогда выполняется соотношение dU/dz = (dp/dx)/pz const, откуда

U(z) = K ТЩЩГр + Ки (11.23)

где величины К, К\ должны быть универсальными постоянными. Закон (11.23) вместе с аргументами, равносильными предположению о полной автомодельности, был указан Стратфордом [197] и Таунсендом [206].