Действительно, вернемся к решению задачи о мгновенном точечном тепловом источнике - автомодельному решению уравнения

дги = у.д\хи (5.11)

при условиях

ы(л;, 0) = 0 при JCO; J u(x, 0)dJC = Q; ы (оо, 0 = 0. (5.12)

- со

Если перейти от вырожденных условий (5.12), соответствующих сосредоточению в начальный момент конечной порции тепла в точке, к условиям

ы(;с, 0) = -5-Ыо(-т-); S o(S)dC=l: 0=0 (5.13)

- со

(wo(S) - монотонно быстро убывающая с ростом абсолютного значения аргумента четная функция), отвечающим сосредоточению в начальный момент той же порции тепла в области конечного размера Z, то решение перестает быть автомодельным. Для него анализ размерности дает

w = f( X, Q, /, X); П = Ф(П1, П2), (5.14)

где безразмерные параметры П, ITi, П2 определяются соотношениями

П = W V/Q; П1 = x\]yi\ П2 = V.

При стремлении Пг к нулю, т. е. стремлении t к бесконечности, или, что то же самое, стягивании в точку области начального сосредоточения тепла (/->0), функция Ф стремится к конечному пределу. В самом деле, приводя к безразмерному виду известные соотношения математической теории теплопроводности [85, 119], легко показать, что

2 X

При П2->0 функция Ф стремится к конечному пределу, равному ехр (-П2/4)/2д/я = Ф(П1, 0). Поэтому автомодельность по параметру П2, делающему задачу невырожденной, полная, и при достаточно малых П2 можно с любой заданной точностью заменить функцию Ф в (5.14) на Ф(П1, 0) =Фо(П1). Однако функция Фо отвечает решению вырожденной задачи, которое уже ав-томодельно.

Полная автомодельность дает возможность не только получить выражения для автомодельных переменных, как это было продемонстрировано в главе 2, но и указать содержательные законы

подобия, в самом деле, пусть мы хотим определить закон затухания максимума температуры. Максимум температуры достигается, очевидно, при д: = 0, так что для вырожденной задачи (тепло в начальный момент сосредоточено в точке х = 0) находим

тах=/( Q); Птах = maxV/Q = const, (5.15)

откуда

max = const Q nt, (5.16)

Такое рассуждение в данном случае обоснованно, потому что для невырожденной задачи

гпах = /( X, Q, /); Птах = Фгпах(П2)=Ф(0, П2), (5.17)

а при П2->0 функция Фтах стрсмится к конечному пределу, равному 1/2д/я.

Вполне аналогично обстоит дело и в случае сильных тепловых и сильных взрывных волн. Так, переходя в задаче о сильных взрывных волнах от вырожденной постановки задачи, отвечающей выделению энергии в точке, к невырожденной постановке задаче, отвечающей выделению энергии в сфере конечного радиуса /?о, получаем для давления, плотности, скорости и радиуса ударной волны следующие соотношения:

p = (EVo/trФp{nu П2); U, = r/(EtW-

П2 = RJiEflp р = роФр (Hi, П2);

и = (£Г/РоУФЛПь П2); r = (£/poУФf(П2). (5.18)

При стремлении к нулю Пз, т. е. стягивании в точку области начального выделения энергии, все функции Фр, Фр, Ф, Ф/ стремятся к конечному отличному от нуля пределу. (Аналитически это обстоятельство никем не доказано, но проверено численным счетом и сомнений не вызывает.) Таким образом, автомодельность по параметру Пг, из-за которого задача стала невырожденной, полная и при достаточно малых П2 с любой заданной точностью можно заменить функции Фр, Фр, Ф в (5.18) соответственно на Фр(П1, 0) = Фро(П1); Фр(П1, 0) = Фро(П1); Ф,(Пь 0) = Ф,о(П1), а функцию Ф/(П2) на константу С = Ф/(0). Однако функции Фро, Фро, Фо и константа пропорциональности С в формуле для радиуса ударной волны отвечают автомодельному решению вырожденной задачи (см. главу 2).

Полная автомодельность и в этом случае позволяет получить содержательные законы подобия, например, для характеристик движения на фронте:

Pf = consti l-J ; u = const2(~j ;

r = const3(-y\ (5.19)

примером автомодельных решений второго рода являются рассмотренные в главах 3 и 4 решения модифицированных задач о мгновенном тепловом источнике и сильном взрыве и задачи о коротком ударе.

В самом деле, решение модифицированной задачи о мгновенном тепловом источнике представляет собой автомодельную асимптотику при больших временах решения задачи с теми же начальными условиями (5.13), но уже для модифицированного уравнения:

ди = кдххи при dtUO; dtU = y.xd\xU при (?г<0, (5.20)

которое при XI =7 X нелинейно. Для этого решения анализ размерностей дает:

w = /( Q, X, л:, /, xi); П = Ф(П1, П2, Пз), (5.21)

П1 = д:/Ун?; П2 = л/; Пз = Х1/х; I\ = ulQ.

Разница в общем случае xi =7 х, Пз =7 1 по сравнению с классическим случаем xi = х, Пз = 1 состоит в том, что при Пз ф 1 и П20 функция Ф в (5.21) уже не стремится к конечному отличному от нуля пределу, но стремится к нулю или бесконечности в зависимости от того, больше или меньше единицы параметр подобия Пз.

При этом имеет место первый тип неполной автомодельности по параметру: при ПгО для функции Ф справедлива степенная асимптотика:

Ф = П2°Ф1(Пь Пз),

где а - некоторое число, зависящее от Пз, равное нулю при Пз = = I, положительное при Пз > 1 и отрицательное при Пз < 1.

В согласии со сказанным выше, при малых П2 соотношение (5.21) записывается в автомодельном виде

П* = Ф1(ПьПз); n* = w(xO /Q/ , (5.22)

но зависимая автомодельная переменная П* уже не может быть найдена из соображений размерности: постоянная а находится решением нелинейной задачи на собственные значения, а все решение находится с точностью до постоянной. Кроме того, в эту автомодельную переменную явно входит размер /, делающий исходную задачу неавтомодельной. Из (5.22) получаем, в частности, закон затухания максимума величины и:

П;ах = Ф1(0, Пз) = (Пз); ах = Р/ /(Пз)/(хО (5.23)