На самом деле существование полной автомодельности по переменной г/Л при малых г/Л вызывает некоторые сомнения. Дело в том, что величина скорости диссипации энергии е тоже флуктуирует, и может оказаться существенным вклад флуктуации е в масштабах, больших масштаба интервала равновесия г<Л, для которого только и имеет место локальная изотропия и однородность. Этот вопрос был поднят Л. Д. Ландау (см. [63]); он детально обсуждается в монографии А. С. Монина и А. М. Яг-лома [75].

Предположим поэтому, что имеет место полная автомодельность по параметру г/Я/ при г/Х1 и неполная автомодельность по параметру г/Л при г/Л<с1, так что при г/К-оо и г/Л-0

Ф(г/?1, r/A)Ci(r/A) ,

где Си а - универсальные постоянные. Из соотношения (1(W2) получаем при этом

Dll = Ci <8>V + A-°. (10.34)

Однако именно такое соотношение получается в уточненной теории Колмогорова-Обухова, учитывающей влияние флуктуации диссипации энергии. При этом, по косвенным экспериментальным данным, а = 0,04, так что зависимость (10.34) фактически мало отличается от закона двух третей, что не уменьшает теоретического интереса этого отличия.

Глава 11

ПОЛНАЯ И НЕПОЛНАЯ АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ В ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ. ПОТОК С ПОПЕРЕЧНЫМ СДВИГОМ

11.1. Пристеночная область турбулентного потока с поперечным сдвигом

Наряду с изотропным однородным турбулентным потоком, законы подобия которого были рассмотрены в предыдущей главе, фундаментальное значение имеет исследование потока с поперечным сдвигом. Так называется в среднем стационарный и однородный в продольном направлении турбулентный поток, средняя скорость и все статистические характеристики которого зависят только от одной поперечной координаты (рис. 11.1). Простейшая реализация такого течения получается в трубе или в канале вдали от входа, при обтекании пластинки вдали от ее передней кромки, в пограничном слое атмосферы и т. д. Вблизи ограничивающей поток твердой стенки можно считать напряжение сдвига постоянным.

Область, в которой это предположение справедливо,естественно назвать пристеночной областью; в атмосфере эта область называется приземным слоем. Состояние движения в некоторой точке течения в пристеночной области определяется: напряжением сдвига т (по предположению постоянным), плотностью жидкости р и ее кинематическим коэффициентом вязкости v, а также расстоянием рассматриваемой точки от стенки z и некоторым внешним размером Л (диаметром трубы, полной глубиной канала, толщиной пограничного слоя и т. д.).

Таким образом, градиент средней скорости дги в данной точке зависит от следующих определяющих параметров:

dzU=-f{x, р, V, г. Л), (11.1)

первые три из которых имеют независимые размерности.

Рис. 11.1. Поток с поперечным сдвигом.

Применяя стандартную процедуру анализа размерностей, получаем:

П = Ф(П1, П2), (11.2)

Х1 = гдги\и\ ni = a3/v=Ref, П2 = W:j,A/v = Re. (11.3)

Фигурирующая здесь величина размерности скорости и = V/P носит название динамической скорости; величины П1 = Не и П2 = = Re называются соответственно локальным и глобальным числами Рейнольдса. Заметим теперь, что величина локального числа Рейнольдса уже на небольших расстояниях от стенки весьма велика. Так, например, в потоке воды (v = 0,01 см/с) с небольшой динамической скоростью и = 10 см/с локальное число Рейнольдса на расстоянии всего одного миллиметра от стенки равно 100, а глобальное число Рейнольдса для трубы диаметром 10 см составляет 10 000. (Глобальное число Рейнольдса отличается от обычно используемого (см. главу 1) в трубной гидравлике числа Рейнольдса, которое основано на средней, а не на динамической скорости.)

Естественно, таким образом, в первую очередь сделать предположение о полной автомодельности течения по локальному и гло-

бальному числам Рейнольдса вне малой непосредственной окрест-ности стенки. В этом предположении, восходящем к Л. Прандтлю,. соотношение (11.2) дает

11 = 2 dzUJu = const = 1/х, (11.4)

откуда получается известный универсальный (т. е. независящий от глобального числа Рейнольдса) логарифмический закон распределения скоростей

г/= Jk. In 2 +const. (11.5)

Величина x, называемая константой Кармана, в предположении полной автомодельности должна быть универсальной постоянной, не зависящей от числа Рейнольдса.

Универсальный логарифмический закон, на первый взгляд, удовлетворительно подтверждается данными измерений распределения скорости в течениях в гладких трубах и других аналогичных потоках (рис. 11.2). Однако более детальный анализ опытных данных [139, 202, 203] обнаруживает систематическую зависимость константы Кармана от числа Рейнольдса, т. е. систематические, хотя и небольшие, отклонения распределения скорости от универсального логарифмического закона.

Естественно поэтому проанализировать возможное предположение [21, 108] о неполной автомодельности течения по локальному числу Рейнольдса в отсутствии автомодельности по глобальному числу Рейнольдса. Причину, по которой влияние вязкости сохраняется при больших числах Рейнольдса, можно представить себе следующим образом. Как известно, турбулентный поток представляет собой совокупность грохмадного множества вихрей, пронизывающих движущуюся жидкость. С ростом числа Рейнольдса количество вихрей возрастает. Как бы велико ни было число Рейнольдса, вязкость остается существенной вблизи ядер вихрей, и, таким образом, ее динамическое воздействие на поток не исчезает.

В предположении неполной автомодельности соотношение (11.2) дает

zd,u/u = Mv)0{Rel (11.6)

где X - величина, также зависящая от глобального числа Рейнольдса. Интегрируя это соотношение и полагая, в согласии с опытом, постоянную интегрирования равной нулю, получаем степенное распределение скорости:

u = ulz/Xv\(Re) (11.7)

Именно в этом предположении кроется причина того, что рассматривается градиент скорости, а не сама скорость. В отличие от градиента скорости, сама скорость на любом расстоянии от стенки зависит от ситуации в области течения, примыкающей к стенке. В этой области гипотеза автомодельности по числам Рейнольдса непригодна.