нимыми, и мы столкнемся с парадоксом, разрешение которого приведет нас к автомодельным решениям нового типа.

Итак, на самой начальной стадии ядерного взрыва- тепловой - непосредственно следуюшей за выделением энергии, газ еще неподвижен. В неподвижном газе распространяются сильные тепловые волны. Перенос энергии излучением на этой стадии происходит со скоростью, во много раз превышающей скорость звука; именно поэтому гидродинамическим перемещением вещества на этой стадии можно пренебречь. Теплопроводность газа при этом определяется в основном излучением - коэффициент теплопроводности % можно считать степенной функцией температуры и:

% = кф.\ (2.1)

Величина п равна примерно пяти. Зависимость теплоемкости с от температуры существенно слабее, и в первом приближении ею можно пренебречь. Запишем уравнение баланса энергии в виде

с dfU + div q = О,

где q =-X grad W - поток тепла, / - время. Преобразуя, получаем:

div q = -div X grad и = -Ло div и - grad и = =-[W( + 1)] divgrad =+ 1)] Д (t + O,

где Д - символ оператора Лапласа.

В интересующем нас в силу геометрии задачи случае сферически симметричного распространения тепловых волн A(+i) = г-ЮгГдг (г - расстояние от центра), и уравнение баланса тепла окончательно принимает форму

dtU = yir4rrdrU-\ (2.2)

Здесь X = W(n-fl) с -константа.

Решение этого уравнения при начальном условии и условии на бесконечности

и {г, 0) = 0 при гфй\ Апс\и(г, 0)rdr = E;

u(oo, 0 = 0 при />0, (2.3)

где - произвольное положительное число, отвечает мгновенному выделению в начальный момент в точке -центре взрыва - определенного конечного количества тепла Е и начальной температуре, равной нулю везде кроме центра взрыва.

Асимптотический смысл решения при таком начальном условии будет детально рассмотрен ниже. Параметр Г;{:-произвольное положительное число, поскольку м(г, 0)=0 при гФО.

Для решения и определяющими параметрами будут независимые переменные ruin постоянные параметры х, Q = Е/с (параметры Е и с входят только в отношении), входящие в уравнение и начальное условие:

u = f{t, X, Q, г). (2.4)

Размерности определяющих параметров суть:

[r] = Z; И=Г; И = 12Г-е-- [Q] = eI (2.5)

где 6 - символ размерности температуры.

Применим анализ размерностей. В данном случае n = 4, k = = 3. Выбирая в качестве определяющих параметров с независимыми размерностями , х и Q, получаем в силу П-теоремы:

П = Ф(П,); n = ul{Q {yt)-\]

I[, = rl[Q\t\ - = l, (2.6)

откуда находим

u = [Q\AГ\lф{l), (2.7)

Вычисляя при помощи (2.7) необходимые производные от и по г и / и подставляя в (2.2) и (2.3), получаем для определения функции Ф() обыкновенное дифференциальное уравнение:

d2 I d 3n + 2 d 3n + 2 -- Соотношение (2.7) показывает, что при любом /

00 00

4лс J и (г, О = 4я£ 5 Ф () dl = const,

откуда, учитывая (2.3), получаем условия:

j fФ{l)dl\An Ф(оо) = 0. (2.9)

К этому добавляется также требование непрерывности функции Ф и производной dФУdlФ dФ/dl, вытекающее из условий непрерывности в любой момент времени > О температуры, пропорциональной Ф, и потока тепла q = -Xgradu = - [h/{n + + l)]gradu+\ пропорционального dФd%, Последнее требование нетривиально; оно показывает, что при Ф =7 О производная dФ/d должна быть непрерывной. В то же время в точке, где Ф обращается в нуль, производная dФ/dl может претерпевать разрыв, конечный или даже бесконечный, лишь бы была непрерывной производная йФ+7с?.

Интегрирование уравнения (2.8) дает решение, удовлетворяющее второму условию (2.9), в виде

ф = 1(1У при <о; Ф = 0 при £>о, (2.10)

где /С= [n/2(n-f 1) (3n + 2)]i/. Для определения оставшейся константы go применим первое условие (2.9); в результате получаем

З/г + 2 1

K\(i-tr4diKio jii-ey4du=mn, (2.11)

откуда, используя выражение интеграла через бета-функции [106], находим:

Ь=-[2пКВ е/2, (д-f l)/д)]-/ + (2.12)

Здесь В - символ бета-функции Эйлера.

Рис. 2.1. Распределение температуры за сильной тепловой волной в автомодельны.х переменных и (г, t)/u{0, t), r/rf(t).

1 v/vit)

Таким образом, распределение температуры окончательно представляется в виде

и = [£/Л¥]/+> К - rl{ErTY (2.13)

при rr{i)=lj,{n){{E\cf y.t u = 0 при r>rf(0. Из (2.13) следует простая зависимость

(О, О

1 - J При г< (0;

:0 При Г > Г: {1),

На рис. 2.1 представлена эта зависимость для п = Ъ. Любопытно, что при n > О в отличие от линейного случая {п - 0) имеет место конечная скорость распространения тепла - зона возмущения ограничена, г/(/)<оо при любом конечном t. При n = 0 предельным переходом получается уже известное (см. введение) решение типа мгновенного точечного источника для линейного уравнения теплопроводности. В этом случае г/(0 = оо при