что автомодельное решение (3.14) действительно является асимптотическим представлением решения задачи Коши.

Итак, построение автомодельного предельного решения - асимптотики решения задачи Коши (3.11) для уравнения (3.1) при больших временах - приводится к решению нелинейной задачи на собственные значения. Решение этой последней задачи определяет автомодельную асимптотику только с точностью до константы А =pQ/a, или, что то же, с точностью до безразмерной константы р. В классическом случае (8= 1, а=0) эта константа (см. введение) находится из интегрального закона сохранения

со оо

5 ( t)dx= \ и{х, 0)dx = Q, (3.25)

- со -со

справедливого и для неавтомодельного движения. Этот закон сохранения при у.1фу. {г Ф 1) не имеет места, он заменяется неин-тегрпруемым соотношением

S и (л:, t)dx = 2 {щ - к) (ди), t) Ф О, (3.26)

которое легко получается, если проинтегрировать уравнение (3.1) по X от л: = -оо до л:= оо и учесть, что х претерпевает разрыв при х = :bx(t). Таким образом, определить константу А по начальным условиям, используя интегральный закон сохранения, не удается: константа А является более сложным функционалом начального распределения давления, т. е. функции и{х, 0). Заметим, что если вместо и{х, 0) взять в качестве начального распределения функцию и(х, U), соответствующую любому моменту времени = 1 > О, то константа А не изменится. В этом смысле А является интегралом уравнения (3.1). Для того чтобы фактически определить величину А при 81, мы можем в настоящее время предложить только численный расчет задачи исходя из неавтомодельных начальных условий.

Автомодельное предельное решение (3.14) уже не представляет собой решение задачи о мгновенном точечном источнике. Действительно, количество жидкости Q, которое нужно отобрать в начальный момент из области с характерным размером /, следует менять с уменьшением этого размера, желая получить одно и то же предельное представление решения при больших временах: Q возрастает при 8> 1 и убывает при 8<1, причем так, что произведение Qi постоянно.

Было бы весьма важно строго доказать, что решение любой задачи с начальными условиями вида (3.11) при достаточно быстро убывающей на бесконечности (пусть даже финитной, т. е. обращающейся в тождественный нуль при достаточно больших значениях аргумента) функции и{х, 0) выходит при больших временах на построенную автомодельную асимптотику, т. е. что и{х, t) действительно стремится при -оо к автомодельному ре-

шению вида (3.14) с нужным а. Тем самым была бы строго доказана правильность сделанного нами по результатам численного эксперимента основного вывода о существовании такого числа а, что предел

limTi- f (£, л, e)=f (I, е) л- -о

существует, конечен и отличен от нуля. Аналитически это пока не выполнено.

Сделаем еще одно важное замечание о законах подобия. Полученное решение дает для координаты точки разрыва температуропроводности

Xo(t)=l,J (3.27)

и для величины и в точке максимума

шах = А/(хО . (3.28)

Первое из этих соотношений легко получается из традиционных соображений подобия, т. е. применением анализа размерностей исходя из представления о мгновенном точечном источнике. Для второго соотношения этого принципиально нельзя сделать, несмотря на то что закон подобия (3.28) имеет степенную форму и вполне определится, если знать размерность величины А. Дело в том, что размерность величины А заранее неизвестна и для ее определения надо решить сформулированную выше нелинейную задачу на собственные значения.

Глава 4

ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ С ПОТЕРЯМИ ИЛИ ПРИТОКОМ ЭНЕРГИИ НА ФРОНТЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ И ЗАДАЧА О КОРОТКОМ УДАРЕ: АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ВТОРОГО РОДА

4.1. Модифицированная задача о сильном взрыве

Сделаем теперь незначительную, на первый взгляд, модификацию рассмотренной в главе 2 задачи о сильном взрыве.

Предположим, что на фронте сильной ударной волны происхо-.дят по тем или иным причинам потери энергии (например, вследствие излучения) или приток энергии (например, вследствие химической реакции). В этом случае поток энергии на фронте уже не сохраняется и уравнение баланса энергии на фронте принимает вид

Pf {Щ - D) [YPf/(Y - 1) Р/ + (tf - DYI2-] ~ р (Vf - D) е = -poD3/2.

Здесь в дополнительном по сравнению с аналогичным уравнением для обычного сильного взрыва (см. главу 2) втором члене левой части 8 - интенсивность потерь (8 < 0) или притока (8 > 0) энергии за единицу времени в единице массы газа, проходящей через фронт. Как и раньше, р - давление, р - плотность, v - скорость газа, D -скорость распространения ударной волны, индексом f обозначены величины за фронтом волны, т. е. при г = г/ - 0. Мы по-прежнему считаем также, что перед фронтом газ находится в покое при нулевом давлении и имеет плотность ро*. асимптотический смысл такого начального условия уже выяснен в главе 2.

Выполняя те же преобразования, что и в главе 2 при рассмотрении обычного сильного взрыва, запишем уравнение баланса энергии на фронте волны в виде

р {Vf - D) [pfliy - 1) pf + tf/2] + PfVf - Qf {Vf ~ D) 8 = 0. (4.1)

В рассматриваемой модельной задаче предполагается, что интенсивность потерь или притока энергии на фронте, приходящаяся на единицу массы газа, пропорциональна температуре:

= ATf = Cpf/pf,

где Л, С - константы (это необходимо, чтобы получающаяся асимптотика была автомодельной). Подчеркнем сразу, что речь здесь идет скорее о математической модели, нежели о вполне адекватном анализе физического явления. Удобно ввести новое обозначение

C = (Yi-Y)/(Yi-l){Y -l).

При Yi=l получается С = -оо; это означает, что вся тепловая энергия частиц газа теряется на фронте. При возрастании yi от единицы до Y константа С возрастает от -оо до нуля: доля теряемой энергии уменьшается. Случай Yi=Y соответствует отсутствию потерь или притока энергии на фронте - нормальному сильному взрыву. При Yi > Y имеет место приток энергии на фронте ударной волны.

Условие (4.1), используя принятое выражение для 8 и новое обозначение, можно записать в виде

р (t; - D) [pfl{yr - 1) Pf + vy2] + PfVf = 0, (4.2)

т. е. в том же виде, что и в обычной задаче о сильном взрыве (см. главу 2), но с измененным показателем адиабаты: вместо показателя адиабаты y в (4.2) входит величина Yb которая представляет собой эффективный показатель адиабаты на фронте, учитывающий потери или приток энергии. Условия непрерывности потоков массы и импульса на фронте волны, как и в обычной задаче о сильном взрыве, имеют вид

Qf{Vf-D) = -poD; pf{Vf-D)Vf + pf = 0, (4.3)

Эти условия показателя адиабаты y не содержат.