Спектр собственных значений X непрерывен и полуограничен: А 0. Имеется, однако, существенная разница между непрерывным спектром в задаче о распространении гена и в рассматриваемой задаче. В первой задаче только нижняя точка спектра Х = Х{) удовлетворяет требованию, чтобы решения начальных задач с начальными данными переходного типа стремились к данному решению типа бегущей волны при /->оо; для всех остальных X это не так, и поэтому соответствующие решения неустойчивы. Для уравнения Кортевега-де Фриза Гарднер, Грин, Крускал и Миура [129] (см. также [159]) сделали замечательное открытие: при -оо и больших положительных х любое решение задачи Коши

u(x,t)

и г- /

П 10

и(х,0)

8-5-

о 1

\ /IV J\\

Рис. 7.2. Начальное возвышение свободной поверхности тяжелой жидкости в неглубоком канале порождает конечную серию уединенных волн (солитонов).

при достаточно быстро убывающем на бесконечности начальном распределении и(Ху 0) асимптотически представляется (рис. 7.2) конечной суммой решений вида (7.43)

и~ Х; 2ti ch-2{y-ii-(x-4 /+c )}. (7.45)

/г= 1

где, \1п - дискретные собственные значения оператора Шрёдингера с потенциалом, равным -и(х, 0):

d4ldx+{\l6?>)[li + u{x, 0)-]W = 0; Ч(±оо) = 0. (7.46)

Таким образом, любое решение типа солитона может быть промежуточной асимптотикой решения задачи Коши при t-oo но какое именно - определяется начальным условием, т. е. функцией и (х, 0).

Для автомодельных решений имеет место аналогичная ситуация. Действительно, для существования автомодельного решения необходимо, чтобы уравнения и граничные условия задачи были инвариантны относительно некоторой группы - определенной под-

группы группы преобразований подобия независимых и зависимых переменных. При отыскании автомодельных решений ищется подгруппа этой группы и решения, которые эта подгруппа оставляет инвариантными. Здесь также, естественно, возникают собственные значения А., которые определяются из условия существования в целом инвариантного (автомодельного) решения. Рассмотренные выше примеры иллюстрируют сказанное. Обратимся к задаче о растекании массы жидкости при фильтрации в упругопла-стической пористой среде, рассмотренной в главе 3. Основное уравнение

dtu = yid]cxti при dtUQ\ dtu = щд\х11 при dfUO, (7.47)

и условие на бесконечности

(±со, 0 = 0 при >0, (7.48)

а также условия непрерывного с непрерывной производной по х сращивания в точках x=±xo{t), в которых величина dtU обращается в нуль, инвариантны относительно двухпараметрической группы преобразований

и = ащ f = ft; х = х. (7.49)

Группа (7.49) представляет собой подгруппу трехпараметриче-ской группы преобразований подобия и =A\U\ f = A2t\ х=АзХ, Ищется однопараметрическая подгруппа группы (7.49), для которой а = р2я JJ автомодельное решение u = tf{x/t), которое эта однопараметрическая подгруппа оставляет инвариантным. Собственное значение к определяется из условия существования автомодельного решения в целом. В этой задаче спектр оказался дискретным, при 8 = xi/x не слишком больших, даже состоящим из одной точки.

Аналогично, уравнения сферически симметричного адиабатического движения идеального газа, условия на сильной ударной волне, условие симметрии и условие на бесконечности в задаче о сильном взрыве с излучением или притоком энергии на фронте волны (глава 4) инвариантны относительно двухпараметрической группы преобразований

р = о?р\ р = р; v = av\ г = арг; f = p. (7.50)

Ищется однопараметрическая подгруппа этой группы, для которой а = р, и автомодельное решение

р = Ро/?(г/+); p = po{rVt)P{rlt+); v = {rlt)V(rlt+), {7.51)

инвариантное относительно этой подгруппы. Спектр собственных значений К определяемых из условия существования автомодельного решения в целом, оказался при Yi < 2y+1, Y < 2 (y и yi - показатели адиабаты соответственно в области непрерывного движения и на фронте), как мы видели, состоящим из одной точки.

в задаче о сходящейся сильной ударной волне, впервые рассмотренной Гудерлеем [134] и также приводящей к автомодельным решениям Бехерта-Гудерлея (7.51), но при других граничных условиях, спектр при значениях показателя адиабаты у > > 70=1,87 оказался (см. [28]) непрерывным и полуограниченным. Имеется гипотеза И. М. Гельфанда, согласно которой, промежуточная асимптотика неавтомодельной задачи при -0 (моменту схлопывания) выделяет, как и в задаче о распространении гена, нижнюю точку спектра, но вопрос на самом деле остается открытым, поскольку численный счет этой гипотезы не подтвердил.

Поучительна автомодельная интерпретация изложенного выше результата для уравнения Кортевега-де Фриза (7.42). Если положить в этом уравнении л: = In , = In т, то уравнение (7.42) перепишется в виде

хди + Ы ди + р {tdliti + fd\iu + Ьди) = 0. (7.52)

Решение типа бегущей волны (7.43) примет при этом автомодельную форму

и = 12А/[2 + + ц = £/Лт\ (7.53)

где А = е- -постоянная. Заметим, что выражение (7.53) не мало только при Г] порядка единицы; если ц велико или мало, выражение (7.53) мало. Спектр собственных значений Я, получающийся при непосредственном построении решений типа стационарной бегущей волны, непрерывен и полуограничен: А. 0. Упомянутый выше результат Гарднера, Грина, Крускал а и Миуры [129] в автомодельной трактовке выражается следующим образом: асимптотика решения начальной задачи для уравнения (7.52) при т-> оо и больших g представляется в виде

Е 12Л2 + {lA,/¥ + {УА-Г V. (7.54)

Таким образом, начальное распределение и(, 0), по предположению достаточно быстро убывающее при ->0, оо, определяет положительных констант Ки Xn и N положительных констант Аи ..., An и выделяет интервалов по При этом внутри каждого из интервалов = 0(тп) асимптотика решения ав-томодельна и имеет вид

и ~ 12К {2 + (е/Л + (£/Л / Г 1 . (7.55)

Вне упомянутых интервалов решение и мало: и = о{1). Здесь показательно, что в автомодельной асимптотике от начальных условий исходной невырожденной задачи зависят не только постоянные Лп, как это обычно бывает, но и показатели степени Лп В выражениях для автомодельных переменных. С аналогичной ситуацией мы столкнемся ниже при рассмотрении автомодельного вы-