тока и последующим осреднением. Впервые это было сделано в работе Л. В. Келлера и А. А. Фридмана [150]. Однако в общем случае получающиеся при этом уравнения записываются настолько сложно, что в работе [150] сами уравнения даже не выписывались: была указана лишь основная идея и перечислено сколько и каких уравнений при этом получается. Как частный случай при этом получаются уравнения для средних значений компонент скорости и турбулентной энергии, впервые приведенные в основополагающей работе Рейнольдса [185].

10.2. Изотропная однородная турбулентность

Существенный прогресс в развитии статистической теории турбулентности наступил, когда Дж. И. Тейлор [200] выдвинул идею рассмотрения изотропной однородной турбулентности. Эта идея приобрела особенно фундаментальное значение после того, как А. Н. Колмогоров [54] предсказал, что в малых масштабах все развитые турбулентные течения (т. е. течения при больших числах Рейнольдса) обладают свойством изотропии и однородности.

Поток называется изотропным и однородным, если все его тензоры моментов остаются неизменными при параллельном переносе, вращении или зеркальном отражении соответствующей системы точек X, хь Х2, ... относительно некоторой плоскости. (Неизменность означает, что в системе координат, располагающейся относительно преобразованной системы точек так же, как исходная система координат относительно прежней системы точек, значения компонент тензора остаются теми же.) Для изотропного однородного потока средняя скорость равна нулю, существенно уменьшается число независимых компонент тензоров моментов и сокращается число величин, от которых они зависят. Так, в произвольной системе декартовых координат компоненты тензора момента скоростей второго порядка изотропного однородного потока выражаются следующим образом:

Bij = <u,{x, 0/(х + г, t)y={BLL-B)ljlr + Bii. (10.4)

Здесь г = г -расстояние между точками; - компоненты радиус-вектора г, соединяющего две точки; t - время;

Bidr, t) = <UL{x, t)u{x + r, 0>;

BNNin t) = (u{x, t)u{x + r, t)); (10.5)

Ul - проекция вектора скорости на направление радиус-вектора г; Un - проекция вектора скорости на направление, нормальное радиус-вектору г. Вследствие несжимаемости потока величины Bll и Bnm связаны соотношением

BMN = B,L + {r/2)drB (10.6)

Таким образом, тензор момента скоростей второго порядка изотропного однородного несжимаемого турбулентного потока

определяется одной скалярной функцией двух скалярных аргументов Вьь{г, t). Аналогично обстоит дело и для тензора двухточечного момента третьего порядка

Bij,k = <Ui{x, t)uf{x, t)Uk{x + n 0>,

который вследствие изотропии, однородности и несжимаемости можно выразить через одну компоненту - скалярную функцию скалярных аргументов rut, например

Bll, l (л t) = {и\ (X, t) т (X + г, (10.7)

Подобное же уменьшение числа независимых переменных и независимых компонент тензоров моментов благодаря однородности, изотропии и несжимаемости имеет место и для моментов более высоких порядков.

Обратимся теперь к уравнениям Навье-Стокса. Умножим эти уравнения на разные компоненты скорости в последовательно возрастающем числе точек, осредним и воспользуемся соотношениями симметрии, вытекающими из изотропии и однородности потока. При этом получается бесконечная цепочка уравнений, незамкнутая на каждом конечном шаге вследствие наличия в уравнениях Навье-Стокса квадратичной нелинейности.

Первое уравнение этой цепочки, связывающее двухточечные вторые и третьи моменты, приводится к виду

dtBii (г, i) = г-дггЧгВц + г-дгГВц I (г, ty (10.8)

Это соотношение, связывающее две неизвестные функции, называется уравнением Кармана-Хауэрза. Следует отметить, что в основной работе Кармана и Хауэрза [149] это уравнение было впервые дано в несколько другой, менее удобной форме. В форме (10.8) оно было представлено Л. Г. Лойцянским [65] и М. Д. Мил-лионщиковым [67].

Задача в полном виде состоит в решении получившейся бесконечной цепочки уравнений при заданных начальных условиях на моменты. Это так называемая проблема вырождения изотропной однородной турбулентности. На самом деле о начальных условиях мы имеем в лучшем случае лишь очень общие представления и задать начальное распределение моментов не можем. В связи с этим особый интерес представляют асимптотики решения при больших временах, запоминающие лишь какие-то основные свойства начальных условий. Эти асимптотики в широких предположениях можно считать автомодельными.

10.3. Вырождение изотропной однородной турбулентности при пренебрежимо малых третьих моментах

Если на некотором этапе движения вклад третьих моментов в соотношение Кармана-Хауэрза (10.8) мал, то это соотношение становится замкнутым и превращается в уравнение для второго момента Вьь(г, /): д,Ви = 2г-ЧгГЧгВи, (10.9)

совпадающее по форме с уравнением теплопроводности в пятимерном пространстве при наличии центральной симметрии. Автомодельные решения этого уравнения были получены в той же работе Кармана и Хауэрза [1491 (см. также [94, 97]); они имеют вид

Bll = л ( - иГЧ (S, nY 1 = rv{t-toh (ю. 10)

где Л, п, 0 - постоянные, а функция f{l,.n) удовлетворяет уравнению

df/df + т + £/2) df/dl + nf = 0 (10.11)

при условиях

f(0, п)=1; f(oo, п) = 0, . (10.12)

Первое из условий (10.12) является нормировочным, а второе получается из естественного предположения о статистической независимости скоростей б бесконечно удаленных точках: Bll(oo, t) = = 0. Определенная таким образом функция / (, п) выражается, как нетрудно показать, через хорошо известную [106] специальную функцию - конфлюентную гипергеометрическую функцию М(а,р,г):

/ = Л1(п, -2/8). (10.13)

Спектр собственных значений п, определяющих скорость затухания моментов связи второго порядка, при непосредственном построении автомодельного решения (10.10) оказался непрерывным: решение уравнения (10.11) при условиях (10.12) существует при любом /г>0. Реализуемое на самом деле значение п должно определяться начальными условиями невырожденной задачи, для которой решение (10.10) представляет собой автомодельную промежуточную асимптотику.

Пусть начальное распределение Вьь{г, 0) таково, что величина

Ао= S refill (г, 0)dr (10.14)

конечна и отлична от нуля, т. е. 0<Ло<оо. Тогда /t = V2, и соответствующая такому начальному распределению асимптотика решения при t-oo записывается в виде

Bll (г, t) = (Ло/48 ехр [-r2/8v {t - о)]- (10.15)

При этом величина

A=\rBl{r, t)dr (10.16)

является интeгpaлoJ, движения, аналогичным суммарному количеству тепла в теории теплопроводности, т. е. не зависит от времени: