Действительно, газ вначале покоится и находится при нулевом давлении, поэтому его импульс и энергия нулевые. Суммарный импульс газа /, охваченного движением, равен в любой момент импульсу давления при ударе:

/=ррот; =\f{X)dl, (4.46)

откуда получается соотношение

ррот= S pvdx. (4.47)

- оо

с возрастанием времени решение стремится к автомодельному. Переходя к пределу под знаком интеграла и подставляя в (4.47) выражения для плотности и скорости из автомодельного решения (4.37), находим:

PPot = PoA2/2 -i S Ril, y)V{l, y)dl. (4.48)

- оо

Поскольку интеграл в правой части от времени не зависит, для независимости левой части от времени необходимо, чтобы выполнялось соотношение а = V2, после чего, казалось бы, из (4.48) можно найти константу А.

Однако работа на единицу площади, совершаемая при ударе по газу, равна

\ р (О, t) V (О, О dt = 6p>-v.t, (4.49)

где б-численная постоянная. В то же время энергия газа, вовлекаемого в движение, нулевая, так как его скорость и давление равны нулю. Следовательно, энергия газа, охваченного движением, в любой момент равна работе, совершаемой при ударе:

Р>о = I Р(4 +1) (4.50)

Снова переходя к пределу под знаком интеграла и подставляя туда выражения скорости, плотности и давления из автомодельного предельного решения, получаем:

6рУро-\== р лу.-2 1 (j + )2, (4,51)

На первый взгляд, отсюда следует, что а = /з и что соотношение (4.51) также позволяет определить постоянную А. Таким образом, возникает парадокс, заключающийся в том, что показатели

степени автомодельной переменной а, определяемые из законов сохранения импульса (a = V2) и энергии (а = 2/з), не согласуются между собой и с показателем степени а (72<а<2/з), определенным при непосредственном построении автомодельного предельного решения.

Разрешение этого парадокса тривиально и вместе с тем показательно. Дело в том, что интеграл в уравнении импульса (4.48) равен нулю, а интеграл в уравнении энергии (4.51) - бесконечности, так что из этих соотношений нельзя определить ни показателей степени, ни постоянной Л. Сам же предельный переход под знаком интеграла в уравнениях законов сохранения (4.47) и (4.50) был не законным, так как стремление подынтегральных выражений к пределу неравномерно по области интегрирования.

Действительно, автомодельное предельное движение получается предельным переходом во всей области -оо < xXf при длительности импульса т->0 и давлении на границе, стремящемся к бесконечности по закону ро = const x-i-). При этом полный импульс Ррот стремится к нулю как const т- а энергия брХ XPqt -к бесконечности как const та-з (напомним, что а лежит

между У2 и 2/з), так что автомодельное предельное движение имеет нулевой импульс и бесконечную энергию. Далее, автомодельное решение является предельным для решения исходной неавтомодельной задачи при конечных ро и т и стремящемся к бесконечности t. Однако, как уже упоминалось, стремление к предельному решению по области -оо <С х Xf неравномерно. Импульс области сжатия xo{t) х Xf{t) неограниченно растет со временем. Импульс области расширения -оо <;л: л:о() имеет противоположный знак и также неограниченно растет со временем по абсолютной величине. Их алгебраическая сумма, равная РРот, становится все меньше сравнительно с импульсом каждой из упомянутых областей, она отлична от нуля только за счет отличия движения отавтомодельного.

Рассмотрим теперь энергию , приходящуюся на единицу площади границы, в любой области xi{t) = liAt х Xf(t), в которой движение стало близким к автомодельному начиная с некоторого момента времени:

*-?p(f+T)-M< -.j (-+T)E4.

(4.52)

Как видно, энергия ё с ростом t стремится к нулю, так что вклад автомодельной области в суммарную энергию становится со временем все меньшим и основной вклад в энергию определяется движением вблизи свободной границы, где оно всегда остается неавтомодельным, сколько бы времени ни прошло с начала движения.

4.10. Задача о взрыве на плоской границе раздела - промежуточные асимптотики

Рассматриваемое здесь движение отличается от движения газа при коротком ударе (п. 4.6) только тем, что в полупространстве слева от непроницаемой стенки не вакуум; оно заполнено тем же газом. Предполагается при этом, что плотность pi газа во всем левом полупространстве jc < О в начальный момент постоянна и много меньше плотности ро газа справа, а давление газа и слева, и справа равно нулю.

Очевидно, что асимптотикой при достаточно больших временах решения этой задачи должно быть решение задачи о мгновенном сосредоточенном взрыве на границе двух полупространств заполненных газом различной плотности, находящимся под нулевым давлением. Последнее представляет собой автомодельное решение первого рода, оно было построено Р. И. Нигматулиным [77} комбинацией решений обычных симметричных задач о плоском сильном взрыве, изученных Л. И. Седовым [96, 97], отвечающих начальным плотностям газа ро и pi и некоторым определяемым в ходе решения задачи энергиям 2Ei и 2Е2.

Действительно, пусть начальная энергия, выделившаяся в результате взрыва, в расчете на единицу площади поверхности раздела составляет Е. Размерность величины Е равна МТ-. В данном случае (ср. примечание на стр. 47) удобно записать автомодельное решение в виде

v = Vf2f(Z. у); p = pf2g(S, y); P = Pf2fi{lr y), (4.53)

где Vf2, p/2, P;2 - CKopocTb, ПЛОТНОСТЬ И давленис газа за правой ударной волной х = X/2, распространяющейся по газу высокой плотности (в положительном направлении оси х). Далее, согласно анализу размерности,

l==xlXf2; Xf2 = lo(Ef/poy\ (4.54)

где go - постоянная, зависящая только от y- Для левой ударной волны, распространяющейся по газу малой плотности в отрицательном направлении оси х, получаем из анализа размерностей

fi = Cif2, (4.55)

так что фронт левой волны отвечает некоторому постоянному значению = 1 < 0. Из условий на сильных ударных волнах, идущих от места взрыва влево и вправо, имеем

где Di и D2 - скорости распространения левой и правой ударных волн: