Как видно, обе задачи имеют одни и те же определяющие параметры: V, х, и, у, среди которых только два имеют независимые размерности: [v] = L4-\ [x\ = L, [U] = LT-\ [y] = L. Прямое применение анализа размерностей дает

а = иФ, (П П2); V = иФ2 (Hi , П2);

П1 = Е = Ux/y; П2 = л = f/y/v, (7.7)

и соотношения теории пограничного слоя (7.5), (7.6) приводятся к виду

Ф1 дФу + Ф2 дФу = (?пФ1; Ф1 + дФ2 = 0; Ф1(0, л)=Ф1(, со)=1; ф(, 0)=Ф2а, 0) = 0, (7.8)

так что прямое применение анализа размерностей никаких упрощений в задачу не внесло. Пусть теперь Ф1(?, л) и Ф2{1, л) - решение системы теории пограничного слоя (7.8), по предположению существующее и единственное. Простая проверка показывает, что в отличие от полной системы Навье-Стокса при любом положительном а функции Ф1 (ag, ал); аФ2 (аЕ, ал) также удовлетворяют уравнениям и всем условиям задачи.

Таким образом, постановка задачи теории пограничного слоя (7.8) оказалась инвариантной относительно однопараметрической группы преобразований:

ф = Ф1(&, л); Ф2 = а Ф2(Е, л); 1=% ц=ац,

так что подставляя предыдущие соотношения в (7.8), мы снова получаем ту же задачу в переменных Ф[, Ф2 £ Р любом а. Ввиду предполагаемой единственности и решение задачи теории пограничного слоя должно быть инвариантным относительно той же группы преобразований, т. е. при любом а>0 функции Ф1 и Ф2 должны удовлетворять соотношениям

Ф1 {Ь л) = Ф1 (А л); Ф2 (I, л) = аФ2 (аЕ, ал). (7.9)

Поскольку в соотношениях (7.9) а можно взять равным любому положительному числу, полагая а=1/у, получаем:

Ф1 л) = ф1(1, n/Vr) = fi(VVD = fi(y/VX Ф2(£, л) = (1Шф2(1, л/л/Г) = (1/У0/2(л/л/Г) =

= VWf/2 (y/VWf). (7.10)

Таким образом, автомодельность решения задачи доказана и выражения автомодельных переменных получены, но уже исходя не только из соображений размерности, а также из инвариантности постановки задачи относительно группы преобразований более широкой, нежели группа преобразований подобия величин с независимыми размерностями.

Рассматриваемый пример показателен также в том отношении, что применению более обпхих групповых соображений здесь можно придать форму использования анализа размерностей. Этот прием оказывается во многих случаях полезным. Именно, будем измерять разными единицами измерения длину в направлении х и длину в направлении у, т. е. введем две размерности длины Lx и Ьу. Для уравнений пограничного слоя, в отличие от полных уравнений Навье-Стокса, так сделать можно. (В уравнениях Навье-Стокса член vd входит в сумме с членом vd г, и,

если измерять х и у разными единицами, эти члены будут иметь разные размерности.) При этом нужно принять

M = Z,; [y-]Ly, (7.11)

тогда в уравнениях пограничного слоя и граничных условиях задачи все члены будут иметь одинаковую размерность. Таким образом, среди определяющих параметров уже не два, а три имеют независимую размерность, и единственным независимым безразмерным параметром подобия будет

n; = y/V = C, (7.12)

откуда и следует автомодельность решения задачи:

= f/fi(C); t; = V/2(C).

Вводя новую функцию ф() = J/i()d, из уравнений (7.5) и

условий (7.6) легко получаем соотношения

/2 = (Сф-ф)/2, Фф + 2ф- = 0, ф(0) = ф(0) = 0, фЧоо) = 1,

т. е. нелинейную краевую задачу для обыкновенного уравнения третьего порядка. Для сопротивления R участка пластинки длиной обтекаемого продольным равномерным потоком со скоростью и, получаем из предыдущих соотношений, используя результаты численного расчета функции ф (детальнее см. [59, 63]):

= 2 J {а,у)уо = 2[/ д/- pv j f[ (0) =

= 4[/V/vpvф (0) = 1,328рд/.

Здесь (axj/)y==o = pv((9yU)y=o -напряжение трения на пластинке. 120

Вводя соответствующий R безразмерный параметр П = = RIpUH, получаем:

П= 1,328/VRi; Re = ( /v.

Заметим попутно, что на это хорошо известное соотношение можно тоже смотреть как на неполную автомодельность. Действительно, сопротивление R определяется следующими величинами: длиной / участка пластинки, скоростью потока (У, а также плотностью р и вязкостью V жидкости. Применив стандартную процедуру анализа размерностей, получаем:

П = Ф(Не).

При характерных для пограничного слоя больших числах Рейнольдса полной автомодельности по числу Рейнольдса нет, так как не существует отличного от нуля предела функции Ф = = l,328Re~V2 при Re->oo. Следовательно, как бы велики ни были числа Рейнольдса, нельзя ожидать выполнения соотношений

П = const; R = const pUH,

которые должны были бы иметь место в случае полной автомодельности по числу Рейнольдса. Тем не менее выполняется соот-шение

П* = Щри (/v) = const = 1,328,

отвечающее неполной автомодельности: параметр П* не может быть получен анализом размерности и содержит размерный параметр V, явное введение которого в задачу нарушает автомодельность.

7.3. Предельные автомодельные решения

Интересный пример использования более общих групповых соображений для установления автомодельности доставляют так называемые предельные автомодельные решения, т. е. решения вида ef{xe), в которых и пространственный масштаб, и масштаб определяемой величины зависят от времени экспоненциально. Рассмотрим эти решения для уравнения нелинейной теплопроводности

dtU = Kdlxu\ (7.13)

Соответствующая вырожденная задача рассматривается в полубесконечной области при t > -оо. Ищется решение уравнения (7.13), которое удовлетворяет условиям

и{х, -оо) = 0, и {О, 1) = ще\ (7.14)

Иногда эти решения называют предельными к автомодельным, что, на наш взгляд, неудачно, поскольку они сами тоже автомодельны.