сти и обрести качественное понимание явления. Кроме того, автомодельные решения широко использовались как эталоны при оценке всевозможных приближенных методов -вне зависимости от непосредственной актуальности соответствующих задач. Для нас сейчас существенно подчеркнуть, что автомодельные решения представляют основную ценность не только и не столько как точные решения отдельных, пусть даже актуальных конкретных задач, но прежде всего как промежуточно-асимптотические представления решений неизмеримо более широкого круга задач.

Рассмотрим это на примере задачи о сильных тепловых волнах. На самом деле выделение энергии при ядерном взрыве происходит, разумеется, не в точке, а в конечной области некоторого размера d\ оно не является сферически симметричным; начальная температура Го не равна нулю. Поэтому, строго говоря, в число определяющих параметров в соотношение (2.4) следует дополнительно включить параметры d, Го и полярные углы ф, Отсюда следует, что помимо параметра IIi функция Ф в (2.6) будет определяться еще четырьмя безразмерными параметрами:

П2 = dl[ {Е/сГ yitY; Пз = To/{{Elcf {yityY-;

П4 = ф; n5 = i). (2,32)

Интуитивно ясно, однако, и хорошо подтверждается численными расчетами, что асимметрия первоначальной области тепловыделения существенна лишь в самые первые мгновения, когда тепловая волна распространяется на расстояние порядка одного-двух размеров начальной области тепловыделения. На этих расстояниях существенны различные, меняющиеся от случая к случаю детали начального тепловыделения, на самом деле никак не регистрируемые и не представляющие интереса. Откажемся от их рассмотрения, т. е. будем интересоваться распространением сильных тепловых волн только на том этапе, когда тепловая волна прошла расстояние (/), большое по сравнению с размером начальной области тепловыделения. Это означает, что rf{t)d. Отсюда с учетом того, что rf{t) имеет порядок [(£/с)х]*+2) следует, что при этом должно быть t:d/yi{E/c) . Но при таких / параметр Пг много меньше единицы. Обычно считается, что если значение некоторого параметра подобия много меньше или много больше единицы, то зависимостью от этого параметра, а следовательно, и от соответствующего размерного параметра можно пренебречь. В данном конкретном случае это оказывается правильным, так что при rd и td-/y. (Е/с) зависимость решения от параметров Пг, П4, П5 несущественна.

Далее, поскольку взрыв сильный, температура в области, охваченной тепловой волной, вначале очень велика - много больше начальной температуры Го. Однако температура вблизи центра волны имеет порядок [(£/с)2(х/)-з]1/(з+2) откуда следует, что при

(£/с)> Г(+2)/з = параметр Пз<1 и, таким образом, несу-

щественна начальная температура. Имея в виду, что при таких t rf<{ElcTo)l\ получаем, что при достаточно сильном и достаточно сосредоточенном (большие Е и малые d) взрыве характерные временные масштабы задачи

Т, = + 7к {Е/сГ; Т, = {Е1С)ЫТ

и пространственные масштабы задачи

Zi = d; 12={Е/сТоУ

далеко разнесены друг от друга, т. е. таковы, что Ti((<T2 и Li <L2. Полученное автомодельное решение хорошо описывает явление при временах и на расстояниях от центра сильного и сосредоточенного взрыва достаточно больших, чтобы исчезло влияние асимметрии начальных условий и размера области начального тепловыделения, и вместе с тем достаточно малых, чтобы можно было пренебречь отличием начальной температуры от нуля:

d-/n {Е/сГ < t < {E/cfiKTt\

d<r<{ElcTo)\ (2.33)

Говорят поэтому, что автомодельное решение представляет собой промежуточную асимптотику при описании явления. Под промежуточными асимптотиками понимается в общем случае Следующее. Пусть в задаче имеются две характерные постоянные величины размерности независимой переменной Xi: и Хр, Промежуточной асимптотикой называется асимптотическое представление решения при Xi/Xp оо, яо Xi/Xp 0.

Вполне аналогично обстоит дело и в задаче описания газодинамической стадии сильного взрыва. В этом случае следует учитывать, что выделение энергии на самом деле происходит не в точке, а в сфере радиусом Rq (радиус Ro соответствует моменту, когда мощная ударная волна обгоняет тепловую). Вне этой сферы - покоящийся газ плотностью ро, находящийся не под нулевым, а под конечным давлением ро. Изложенное выше решение представляет собой промежуточную асимптотику, описывающую стадию взрыва при

Т, = (poRo/Ey < t < (роЕУрУУ = Г2;

= < г < {Е/роУ = и, (2.34)

т. е. при временах и на расстояниях от центра взрыва, достаточно больших, чтобы исчезло влияние размера области начального

На самом деле масштабы Т2 и L2 ограничены также и возникновением движения газа.

4* 51

выделения энергии, и вместе с тем достаточно малых, чтобы еще не чувствовалось влияние противодавления. Приведем несколько цифр. Для условий первого американского ядерного взрыва в Аламогордо ро 10 г/см, 1021 эрг, 10 дин/см2, 10 см = = 10 м, откуда для временных и пространственных границ области применимости автомодельной промежуточной асимптотики находим: Ti\{)- с, Т2\ с, LilO см, 1210 см. Следует отметить, что на самом деле верхняя граница применимости автомодельной промежуточной асимптотики лежит ниже вследствие влияния вязкого размывания фронта.

Точно так же дело обстоит и в общем случае. Автомодельные решения всегда представляют собой решения вырожденных задач, в которых входящие в задачу параметры размерности независимых переменных принимают нулевые или бесконечные значения, так что, как правило, автомодельные решения отвечают сингулярным начальным или краевым и т. п. условиям, таким, как в только что рассмотренных примерах. Таким образом, автомодельные решения всегда представляют собой промежуточные асимптотики решений невырожденных задач.

Широко распространено представление о том, что получение автомодельных решений всегда связано с анализом размерностей, т. е. с подобием, так что применением анализа размерностей из постановки вырожденной задачи, точным решением которой является та или иная автомодельность, всегда может быть получена форма .решения, т. е. выражение автомодельных переменных. После получения точного решения нетрудно найти класс невырожденных задач, для которого рассматриваемое автомодельное решение является промежуточной асимптотикой. Для некоторых решений дело действительно обстоит так; рассмотренные в настоящей главе примеры это продемонстрировали и показали общий подход, применимый в подобных случаях. Существенно, однако, что случаи, когда построение автомодельных решений исчерпывается анализом размерности, составляют, как говорят иногда, лишь видимую часть айсберга. Как правило, дело обстоит иначе: существуют обширные классы задач, для которых хотя и имеет место автомодельная промежуточная асимптотика, но эту асимптотику нельзя получить из исходной постановки задачи путем применения соображений размерностей. Форма автомодельных переменных определяется в этих случаях из решения нелинейных задач на собственные значения и иногда даже из некоторых дополнительных соображений. Подчеркнем еще раз, что речь идет не об исключениях, а скорее, о правиле: множество автомодельных решений, не получаемых из соображений подобия, гораздо богаче множества автомодельных решений, форма которых вполне определяется соображениями подобия. Последующее рассмотрение покажет, в чем здесь дело. Слегка, казалось бы, модифицировав

Точнее, устойчивые автомодельные решения (см. главу 7),