нах клина, запоминает при а<ая не обычный момент сил,

т. е. не интеграл j p{r)rdr = а более сложный, с дробной о

степенью, момент системы сил, действующих на боковых сторонах клина. При этом степень, с которой радиус входит в момент сил, зависит от угла раствора клина и определяется решением задачи на собственные значения для линейного уравнения (9.27) при условиях обращения в нуль решения и его производной на концах интервала.

Рассмотренное решение показательно во многих отношениях. Оно содержит параметр а -угол раствора клина. Как видно из предыдущего анализа, при углах раствора меньше некоторого критического можно использовать традиционную аргументацию анализа размерностей, ограничиваясь заданием момента сил, действующих на клин. При этом получается автомодельное решение первого рода, которое вполне определяется непосредственным построением с помощью анализа размерностей. При углах раствора клина больше критического традиционные соображения анализа размерностей неприменимы, потому что выбрасывать го из списка определяющих параметров и оставлять там М при а>а нельзя. Тем не менее, стягивая к вершине область приложения сил на боковых сторонах клина, мы также получаем автомодельное предельное решение. Попытка построить это решение непосредственно как автомодельное решение второго рода определяет предельное решение, как и всякое автомодельное решение второго рода, только с точностью до константы. Значение этой константы может быть получено путем сращивания автомодельного решения с решением неавтомодельной задачи. Оно выражается, как показывает проведенное сращивание, через некоторый дробный момент от распределения напряжений на боковых сторонах клина, но какой именно момент (т. е. с какой степенью г) можно определить только после решения задачи. Заранее из соображений размерности эту степень определить нельзя. Наконец, при угле раствора клина, равном критическому, соображения размерности оказываются бессильными; они не приводят ни к какому упрощению решения, а аргументация малостью участка приложенных сил, приводящая к вырождению задачи, является незаконной. Иными словами, автомодельность по параметру г] не наступает, как бы велико ц ни было. Тем не менее, как показывает соотношение (9.22), асимптотика решения в этом случае автомодельна, поскольку выражение для ф =z W/M при больших ц = г/го записывается в виде

Ф = 1пг]Фз(9).

Эта автомодельность, однако, нестепенного типа, и уже не является решением.

Очевидно, что сказанное выше невозможно было бы установить, не зная неавтомодельного решения более полной, невырож-

денной задачи. В нелинейных задачах анализ, подобный проведенному выше, практически никогда не бывает возможным: как уже упоминалось, одной из главных причин, по которым вообще занимались автомодельными решениями вырожденных задач, было стремление получить какое-то представление о строении решений сложных невырожденных нелинейных задач.

Приведенный пример явно продемонстрировал, что просто построить автомодельное решение -мало; нужно удостовериться, что это решение является промежуточной асимптотикой для какого-то хотя бы узкого класса невырожденных задач. После фундаментальной работы Стернберга и Койтера появились и другие примеры того же рода. Отметим среди них изящную задачу об упругом поле вблизи угловых точек контура поперечного сечения стержня при кручении \ решенную Моффатом и Даффи [168].

9.3. Использование автомодельных решений для оценки жесткости клина

Б. Будянский и Дж. Кэррьер [117] выполнили в связи с той же задачей о клине, на который действует пара сил, весьма поучительное исследование, касающееся применения автомодельных решений для оценки интегральных характеристик решения невырожденных задач.

Они рассмотрели (см. рис. 9,2 б) упругий клин, обрезанный по расположенной вблизи его вершины дуге круга, вдоль которой сделано абсолютно жесткое подкрепление. Воспользовавшись тем, что те же уравнения плоской теории упругости, что и в случае плоской деформации, применимы в случае плоского напряженного состояния (тонкая пластина), Бу дянский и Кэррьер рассматривали обобщенный клин - прижатые друг к другу пластинки, навивающиеся по винтовой линии. Это дает возможность рассматривать задачу при произвольных углах а, в том числе больших я. К подкреплению приложена пара сил с крутящим моментом М (приходящимся на единицу толщины клина). Ясно, что при этом подкрепленная граница повернется на некоторый малый угол Q. Поскольку угол Q пропорционален приложенному моменту Л1, естественно назвать величину M/Q жесткостью. Как показывают соображения анализа размерностей, эта величина, определяемая мо-

В работе [168] эта задача в действительности рассматривалась в другой, гидродинамической интерпретации: течение Пуазейля в цилиндрической трубе с угловыми точками на контуре поперечного сечения. Аналогия этих задач хорошо известна. Отметим попутно, что анализ математически эквивалентных автомодельных задач плоской теории упругости для клиновидных областей (см. работу Вильямса [214]) и медленных течений вязкой жидкости в клиновидных сосудах (ср. работу Моффатта [167]) проводился в течение почти шестидесяти лет практически без всякой взаимной корреляции, так что одни и те же трудности неизменно преодолевались дважды. Гидродинамическая интерпретация решения Стернберга-Койтера была указана в работе [109] и позднее в работе [168].

дулем сдвига G, коэффициентом Пуассона v и радиусом круга /?, до которого клин обрезан, равна GRC{v), где С(v)-величина, называемая безразмерной жесткостью, Задача заключается втом, чтобы получить достаточно надежную оценку для безразмерной жесткости. Будянский и Кэррьер эффективно и поучительно с общей точки зрения использовали для этой цели автомодельные решения. Они исходили из установленного в теории упругости принципа минимума дополнительной энергии, согласно которому, среди всех допустимых полей напряжений, обращающихся в нуль на боковых сторонах клина и обладающих на дуге r = R нулевым главным вектором и главным моментом, равным М, истинное упругое поле минимизирует энергию напряжений

оо а

=4 ! S vyvyT dr (9.32)

(по повторяющимся греческим индексам предполагается суммирование). Здесь компоненты тензора деформаций eij выражены через компоненты тензора напряжений aj посредством закона Гука (б - единичный тензор):

e,; = (l/2G)(a,--ot). (9.33)

Очевидно, что точная велишна энергии напряжений равна (l2)MQ, Следовательно, если И -энергия, соответствующая какому-то допустимому полю напряжений, то

WW = М2/2 = M/2G?C (v), (9.34)

откуда

C(v)>M2/2G/?2W. (9.35)

Идея состоит в том, чтобы, используя автомодельные поля напряжений, получать величины возможно более близкие к истинному значению, и тем самым получать хорошие оценки для C(v).

При этом энергия W находится из соотношения

W = - S {OrrUr + 0.9И9)г = л dQ, (9.36)

получающегося из уравнения энергии и условия быстрого убывания напряжений на бесконечности.

В отличие от предыдущего рассмотрения, здесь появились упругие смещения, поэтому среди определяющих параметров появились постоянные G и v, характеризующие упругие свойства тела.