любом / > 0. Изложенное выше решение было получено в работах Я. Б. Зельдовича, А. С. Компанейца [46], Г. И. Баренблатта [4]; в последней работе рассматривалась математически эквивалентная задача фильтрации газа.

Разумеется, в случае одномерного распространения тепла все рассуждения проводятся вполне аналогично; с помощью подобных рассуждений из соображений анализа размерностей можно получить классическое решение типа мгновенного источника для линейного уравнения теплопроводности в одномерном случае. Поскольку это решение и, главное, этот вывод нам скоро понадобятся, кратко на нем остановимся. Итак, ищется решение уравнения

du = yidixU (2.14)

при начальном условии и условии на бесконечности и{х, 0) = Q6{x); u(oo, 0 = 0,

т. е.

и{х, 0) =0 при а::0; \ и{х, 0)dx = Q;

- оо

и(оо, 0 = 0. (2.15)

Искомое решение зависит, очевидно, от определяющих параметров ty X, Q, X, размерности которых суть соответственно: Г, LT~y 6L, L (6 - размерность температуры и), В качестве определяющих параметров с независимыми размерностями берем первые три. В данном случае n = 4, k = 3 и анализ размерностей дает

П = Ф(П1); n = u/Q(W)- ni = Jc/V,

откуда

= (Q/V/(W).

Подставляя это выражение в уравнение (2.14) и используя условия (2.15), получим хорошо известное решение

и = (Q/2 ехр (-л:2/4х0. (2.16)

Можно пожелать получить из соображений анализа размерностей закон убывания температуры в точке максимума; те же рассуждения дают с точностью до константы

max~Q/V>,

из соотношения (2.16) находим

Следует обратить внимание на приведенный вывод решения (2.16): он типичен и кажется вполне прозрачным. На самом деле этот вывод содержит подводные камни, которые полностью проявятся при, казалось бы, небольшой и нечувствительной модификации задачи (см. следующую главу).

2.2. Сильные взрывные волны

Полученное в п. 2.1 решение описывает явление сильного взрыва на самой начальной, тепловой стадии. С течением времени скорость переноса энергии излучением убывает и быстро становится малой по сравнению со скоростью звука, В разогретом газе возникает мощная ударная волна, которая обгоняет тепловую, и происходит переход к следующей, газодинамической стадии. На этой стадии необходимо рассматривать движение газа; это движение можно считать адиабатическим. Напомним хорошо известные [59, 63] уравнения адиабатического движения газа в интересующем нас случае сферической симметрии. Первое уравнение- закон Ньютона, записанный для единицы объема газа:

dvjdt = dfO -\-vdrV== -гР/Р>

где t; -радиальная компонента скорости, р -давление, р -плотность газа, г - координата, отсчитываемая от центра взрыва, t - время. Действительно, единственной действующей силой является перепад давления в радиальном направлении, а масса единицы объема равна плотности газа. Далее, выполняется закон сохранения массы газа:

дф + div pv = 0.

В случае сферической симметрии,. когда единственная отличная от нуля компонента скорости - радиальная, div pv = rdrrpv = = {2lr)pv + drpv. Наконец, в силу адиабатичности движения справедливо уравнение сохранения энтропии в жидкой частице

ds/dt = dtS + v drS = О,

где 5 - энтропия единицы массы, в рассматриваемом случае термодинамически идеального газа s = Cv\n (р/р); Cv - теплоемкость газа при постоянном объеме, у - отношение теплоемкости газа при постоянном давлении к его теплоемкости при постоянном объеме.

Таким образом, основные уравнения движения газа записываются в виде

dtV + vdrV + drp/() = 0; dt9+dr{9v) + 2pv/r = 0;

dt{p/9) + dr{p/9y)==0. (2.17)

Мы рассмотрим здесь точное решение задачи о движении газа, возникающем при мгновенном выделении в центре взрыва конечной порции энергии Е, Газ вначале предполагается покоящимся, его давление - равным нулю, начальная плотность газа - равной ро везде, кроме центра взрыва. Классического, т. е. гладкого решения этой задачи не существует. Мы будем искать кусочно-гладкое решение, так что возмущенная область, внутри которой решение меняется непрерывно и описывается уравнениями (2.17), ограничена ударной волной - сферой радиуса rf{t). На фронте волны характеристики движения - давление, плотность, скорость - меняются скачкообразно. Вне этой сферы сохраняется состояние покоя газа и начальное давление газа также по условию равно нулю. При этом условия сохранения (непрерывности потока) массы, импульса и энергии на фронте ударной волны записываются в виде

(Vf - D) = -poD; р (t; ~ Df + Pf= poD; Pf {Vf - D) [ypfliy l)pf + {Vf- Dm = -9oDV2,

Здесь D = drf/dt - скорость распространения ударной волны по покоящемуся газу, а индексом f обозначены значения величины за фронтом ударной волны, т. е. при r = rf - 0. (Напомним, что поток энергии равен произведению потока массы на сумму кинетической энергии единицы массы и энтальпии - тепловой функции-единицы массы.) Последние два соотношения удобно записать следующим образом:

р (у - D)t-bPf = 0;

р (Vf - D) [pfl{y - 1) Pf + tf/2] + PfVf = 0.

Разрешая соотношения непрерывности потока массы, импульса и энергии относительно плотности, давления и скорости за фронтом, находим:

Pf=9.D; pf = ±fpo; f = -A z). (2.18)

Далее, энергия единицы объема газа равна р {vl2 + CvT) = = p(v/2 + p/ (у-1)р), где Т - абсолютная температура, поэтому начальное условие для задачи о точечном взрыве можно записать в виде

р(г, 0)=ро; р(г, 0) = 0; у (г, 0)=0 при гфО,

где - произвольная положительная величина 2, Е - энергия.

Асимптотический смысл этого решения также будет рассмотрен ниже. 2 Поскольку v{r, 0)=0 и р(г, 0)=0 при гФО.