применение анализа размерностей, как нетрудно показать, используя стандартную процедуру, дает

r = UoФ[;c/(xa-rгo7 Р]- (7.15)

Заметим теперь, что сформулированная задача инвариантна также относительно группы преобразований сдвига по времени, так что если и (х, t, Uo, а) есть решение задачи (7.13), (7.14), то и(Ху t - т, мов\ от) тоже представляет собой решение той же задачи при любом действительном т. В самом деле, подставляя в (7.13) и (7.14) t = t+Xy мы получим для определения и в функции переменных х, f ту же задачу, только вместо uo будет фигурировать Uq = Uoe, Отсюда, из единственности решения и из соотношения (7.15) следует, что при любом т

и {X, t) = иФ [д:/(xa w?y/ ot] =

= щеФ [;c/(xa-г?0 ot - от .

Это означает, что функция Ф удовлетворяет соотношению инвариантности

ф (н, т) = еФ [l ехр (-/гат/2), г] - от] (7.16)

при любом т. Полагая т = г]/а, получаем:

Ф(£, г1) = еф[£ехр(-Агп/2), О] =в/йехр (-пп/2)], (7.17)

откуда уже следует автомодельность решения задачи (7.13), (7.14):

а = ще! [;c/(>ra-4e 0i (7.18)

Название этих решений - предельные автомодельные - объясняется следующим образом. Уравнение (7.13) имеет семейство автомодельных решений обычного степенного вида, удовлетворяющих условиям

и{х, о) = 0; и {О, t)=y.{t-t,r при />о. (7.19)

Как нетрудно показать, используя стандартную процедуру анализа размерностей, эти решения представляются в виде

= (х - о) /а UlivT {t - /о) +х (а + 1))] (7.20)

(множитель (oc+l) введен в автомодельную переменную для удобства), где функция fa является решением уравнения

При условиях fa(0) = 1, fa{) =0, непрсрывным, имеющим непрерывную производную d dg. В действительности это решение

тождественно равно нулю при , больших некоторого о(<)<оо (ср. главу 2).

Возьмем теперь to = -а/а, где а - постоянная размерности обратного времени и устремим а к бесконечности, сохраняя \1{а/о)

постоянным и равным uq. Как нетрудно видеть, степени {t - to)= = {a/G){l + Gt/a) при этом стремятся к экспонентам и решение (7.20) стремится к решению (7.18) как к своему пределу.

Решения вида ef{xe) появлялись в различных задачах механики начиная с работы С. Гольдштейна [130], посвященной теории пограничного слоя. Проведенный выше групповой анализ этих решений и выяснение их предельного характера были выполнены в работе [6].

7.4. Вращение жидкости в цилиндрическом сосуде

Показательный пример автомодельного решения, для установления автомодельности которого соображений анализа размерности недостаточно, дает замечательная задача Соболева о малых возмущенных движениях при вращении жидкости в цилиндрическом сосуде [99]. Уравнение для возмущения давления р в этой задаче, как показано С. Л. Соболевым, имеет вид

(??/Ap + o)Lp = 0. (7.22)

Здесь -время; г -координата, отсчитываемая вдоль оси вращения; Д = (Э2 + (1/р)(9р + (Э2 - оператор Лапласа, р =

= + у; X, у - прямоугольные координаты в плоскости, перпендикулярной оси вращения; со -угловая скорость вращения.

Первым фундаментальным решением уравнения (7.22) называется решение, удовлетворяющее начальным условиям

р{х, у, Z, 0) = Q/r; dtPix, у, 0) = 0, (7.23)

где Q = const, г = p+z. Искомое решение зависит от определяющих параметров: р, Q, г, со, t, размерности которых суть:

[Q] = [p]Z; [р] = И = 1; [(о] = Г-ь М = Г. (7.24)

Далее, как нетрудно показать, анализ размерностей дает:

p = Qф{l, ri)/p; = p/z; цЫ. (7.25)

Подставляя (7.25) в (7.22) и (7.23) и интегрируя с учетом условия регулярности решения на оси вращения *, приведем эти соотношения соответственно к виду

f(?;14-<?k<?c(/C) = 0; (7.26)

W(S, 0)=С; д{1, 0) = 0. (7.27)

Здесь S = I/V1 + I = Pir, {I, л) = Ф (I. л)

Требование регулярности включает в себя также обращение в нуль величины (?Ф(0, Г]) - коэффициента при цилиндрической обобщенной функции А(1/р), получающейся при подстановке (7.25) в уравнение (7.22). Решение (7.31) этому условию удовлетворяет.

Если т])-решение задачи, то, как нетрудно проверить,

a~4(ag, а-*г]) тоже удовлетворяет всем условиям задачи при произвольном положительном а. В силу единственности решения отсюда следует, что функция ц) при любом а > О удовлет-

воряет соотношению инвариантности

Л)=аК, а-Л). (7.28)

Положив теперь а = получаем

(S, л)=СЧР-(1, ?л)=3ап), (7.29)

т. е. функция 4(S, ц) может быть представлена через функцию одной переменной. Подставляя (7.29) в (7.25) и возвращаясь к исходным переменным, находим:

p = Q3(cop/r)/r. (7.30)

Таким образом, первое фундаментальное решение уравнения Соболева (7.22) действительно оказывается автомодельным. Подстановка (7.30) в уравнение (7.22) и начальные условия (7.23) легко позволяет определить выражение для р через бесселевы функции:

3 = /о(сор/г); p = QJo{iyt/r)lr, (7.31)

Использованию инвариантности относительно более широкой группы для доказательства автомодельности иопределения автомодельных переменных можно придать форму применения анализа размерности; применяемый здесь простой прием также часто бывает полезен.

Именно, запишем соотношения (7.26), (7.27) в виде

ЧР-(С, 0)=р; (?Ч(С, 0) = 0 (7.32)

и на время забудем, что величины Ч, , ц безразмерные, а А, и р, равны единице. Наоборот, предположим, что имеет какую-то размерность Z, Г) - размерность Я, ЧР* - размерность [Ч]. Тогда, для того чтобы все члены уравнений (7.31) имели одинаковую размерность, нужно, чтобы размерности X и ii были следующими:

M = mZ-b, 11-] = ZH. (7.33)

Решение ЧР*, как следует из (7.32), может зависеть только от I, Г], X, II. Отсюда при помощи стандартной процедуры анализа размерностей находим

W = [1Фтц) = xCS (CtiA). (7.34)

Полагая ii = X= 1, получаем снова (7.29).

Приведенные примеры показывают, как установление инвариантности задачи относительно той или иной группы непрерывных преобразований позволяет сократить число аргументов функций так же, как и соображения анализа размерности, основанные на