Величины П, Пь П2, ..., Пп-к, очевидно, безразмерны, и при переходе от одной системы единиц к другой внутри данного класса их численные значения остаются неизменными. Зависимость (1.13), используя величины (1.16), можно переписать в виде

= f (ai, .. а Hi, n, fe). (1.17)

Как было показано, можно перейти к такой системе единиц измерения, что любой из параметров аи . cik, например аи изменится в произвольное число раз, а остальные сохранятся неизменными. При таком переходе в зависимости (1.17) меняется, и притом произвольно, первый аргумент, а все остальные аргументы функции F остаются неизменными, так же как ее значение П. Отсюда следует, что дР/да[ = 0 и аналогично др/да2 = = 0, ..., dF/dak = 0. Следовательно, зависимость (1.17) представляется на самом деле через функцию п - k аргументов:

П = Ф(П П, ,),

или, что то же самое, функция f имеет специальный вид

/(ai, а, afe+i, ..., а) =

Этот факт составляет содержание центрального (и, по существу, единственного содержательного) утверждения анализа размерностей, И-теоремы, явно сформулированной и доказанной, по-видимому, впервые Э. Бакингамом:

Пусть существует физическая закономерность, выраженная в виде зависимости некоторой размерной, вообще говоря, величины от размерных же определяющих параметров. Эта зависимость может быть представлена в виде зависимости некоторой безразмерной величины от безразмерных комбинаций определяющих параметров. Количество этих безразмерных комбинаций меньше общего числа определяющих параметров на число размерных определяющих параметров с независимыми размерностями.

Следует отметить, что П-теорема интуитивно вполне очевидна и ее неявное использование началось задолго до того, как она была явно сформулирована и формально доказана; в этой связи следует прежде всего назвать имена Галилея, Ньютона, Фурье, Максвелла, Рейнольдса и Релея. Использование анализа размерностей при построении специальных решений систем уравнений в частных производных будет ниже предметом подробного рассмотрения. Здесь же заметим, что анализ размерностей с боль-

шой пользой применяется при предварительном анализе физических явлений и при обработке данных экспериментов. В самом деле, принято считать, что для выяснения зависимости той или иной величины от некоторого определяющего параметра надо измерить эту величину как минимум при десяти значениях данного аргумента (разумеется, число десять вполне условно). Таким образом, для экспериментального определения величины а в функции п определяющих параметров надо было бы произвести 10 экспериментов. Согласно П-теореме, дело сводится к определению функции п - k безразмерных аргументов Hi, ..., Un-k, для нахож-

Рис. 1.1. Схема опытов Э. Бозе, Д. Рауэрта и М. Бозе.

Рис. 1.2. Результаты опытов Э. Бозе, Д. Рауэрта и М. Бозе в исходном виде для различных жидкостей.

/ - вода, 2 - хлороформ, 3 - бромо-форм, 4 - ртуть.

-0,5 -1,0 -1,5

-3,0 -2,5 -2,0 -1,5lglh

дения которой достаточно опытов, т. е. в 10 раз меньше.

Стало быть, трудоемкость определения искомой функции сокращается на столько порядков, сколько среди определяющих параметров величин с независимыми размерностями.

Показательный пример. В 1909-1911 гг. физико-химики Э. Бозе, Д. Рауэрт и М. Бозе [115, 114] опубликовали серию экспериментальных исследований (рис. 1.1). Ими измерялось время т заполнения сосуда данного объема Q и перепад давления Р на концах трубки при стационарном протекании через трубку различных жидкостей: воды, хлороформа, бромоформа, ртути, этилового спирта и др. Результаты опытов были, как полагается, представлены в виде серии зависимостей перепада давления от времени заполнения для разных жидкостей, подобных представленным на рис. 1.2. Эти работы были замечены Карманом [147, 148], который подверг результаты обработке с точки зрения, если пользоваться современной терминологией, анализа размерностей.

Рассуждения Кармана можно представить следующим образом. Перепад давления Р на концах трубки должен зависеть от

времени заполнения сосуда т, объема сосуда Q и свойств жидкости: коэффициента вязкости [х и плотности р:

P=fix, Q, li, р). (1.19)

Как видно, в данном случае дг = 4. Размерности параметров, для определенности, в классе MLT, выражаются следующими соотношениями:

(1.20)

Легко видеть, что первые три определяющих параметра т, Q, ix имеют независимые размерности, размерность же четвертого опре-

Рис. 1.3. Результаты опытов Э. Бозе, Д. Рауэрта и М. Бозе в интерпретации Кармана.

Обозначения см. рис. 1.2.

деляющего параметра р выражается через размерности первых трех: [р]= [fx][T][Qr/3.

Таким образом, /г = 3, так что n = k = U и анализ размерностей дает

П = Ф(П1), U = P/iiT-\ n,=p/iirQ-\ (1.21)

Следовательно, согласно (1.21), в координатах IIi, П все опытные точки должны лечь на единую кривую. Как показывает рис. 1.3, это подтвердилось. Ясно, что заранее проведенный анализ размерностей мог бы сократить объем экспериментальной работы физико-химиков во много раз.

Интересен следующий пример. При атомном взрыве в области, настолько малой, что ее можно считать точкой, быстро (можно считать мгновенно) выделяется значительная энергия Е. От центра взрыва распространяется мощная ударная волна, давление за которой вначале составляет сотни тысяч атмосфер. Это

1 Приводимое ниже рассуждение принадлежит Дж. И. Тейлору [201]. Теоретическое исследование соответствующей задачи газодинамики дано в работах Л. И. Седова [96] и Дж. И. Тейлора [201] и будет подробнее рассмотрено в главе 2.