Величины под знаком интеграла в правой части ограничены, а Pi(t) имеет порядок б, так что весь интеграл имеет порядок б. Далее, при 1 = Ь величина г) обращается в нуль, поэтому

и второй член правой части имеет порядок б, откуда и из линейности приближения следует непрерывность dv при jg = go. Непрерывность V доказывается умножением на и таким же интегрированием с последующими оценками.

Решение начальной задачи для возмущения ищется в виде

vil. т)= Е Спв-п-Чг ). (7.78)

Здесь функция fXn)-собственная функция оператора, опре-

деляемого уравнением

EdW/df+ т)атг +{1+а+ 2ix)W/2 = О при Ul<; d4/df + т) dW/dl + (1 + а + 2) 4F/2 = О при UI > ,

и условиями обращения в нуль быстрее любой степени g при 1= ±оо:

W(±oo, г,) = 0, (7.80)

где \1п - п-е собственное значение этого оператора. Функции jin) непрерывны вместе со своими первыми производными по i при g=±go. Стандартными приемами доказывается, что спектр получившейся задачи на собственные значения дискретен.

Удобно рассмотреть отдельно симметричные и антисимметричные 42 собственные функции оператора (7.79), (7.80). Симметричное решение уравнения (7.79), удовлетворяющее условиям (7.80), должно представляться в виде (ср. главу 3):

= с, ехр {-f/8e)[D,+2 (s/V2 e) + +2 {-Ул/2г)]

при $<£о; (7.81)

f, = C2exp(-r/8)D +2/V2) при £>о.

Для определения постоянных Ci и С2 воспользуемся условием непрерывности и d4/dl при \1\ =1о. При этом получается система однородных линейных алгебраических уравнений; условие обращения в нуль определителя этой системы дает характеристическое уравнение

А (р) = (а + 2 + 1) Da2 (WV2) М (-1 - (а + 2г)/2, V2; Й/4е) + + /)а+2.+2(со/л/2)Л(-(а + 2г)/2, V2; Но/4е) = 0. (7.82)

Величины а и go по-прежнему определяются соотношениями (7.72), используя которые легко показать, что цо = О - корень уравнения (7.82). Покажем теперь, что остальные корни этого

уравнения положительны. Действительно, уравнение (7.82) преобразуется к виду

А(1х) = (ЫУЮ)1 + а + 2ЛУл/2)Л1(-1-(а + 2м)/2, V2, о/4е)+ + Да+2ц+2(?о/л/2)[Л1(-(а + 2р)/2, V2; о/4е)-

Л1( 1- (а + 2м)/2, V2; о/4е)] = 0. (7.83)

Известно (см. [106]), что функция Л1(а + /, V2; хо) есть монотонно возрастающая функция / при / > О, если хо - наименьший положительный корень уравнения Л1(а + /, V2; х) =0. Если U - наименьший положительный корень уравнения Da+2{) =0, то

а4-2ц + 2(Со)>0 при р < 0.

Следовательно Д(р) > О при всех отрицательных р, и, таким образом, отрицательных корней характеристическое уравнение (7.82) не имеет.

Далее, антисимметричное решение имеет вид

= Сз ехр (-Н2/8е) (/л/2) - (-/л/2]

при o<U<!o;

2 = Q ехр (-1/8) D +2. Ш2) при !о < U К оо. (7.84) Характеристическое уравнение для него приводится к соотношению

Ai М = (УV2){ул/2) М 1 - (а + 2р - 1)/2, V2; £о/4е) + + eDi + a+2/W2)[M(-(a + 2p-l)/2, V2; ll/г)-

Л1(~1-(а + 2р-1)/2, V2; Й/4е)] = 0. (7.85)

Сопоставляя это уравнение с (7.83), получаем, что его наименьший корень 111 = V2. Дальнейшее исследование обнаруживает, что наименьший положительный корень уравнения (7.83) равен Р2=1, а соответствующий корень уравнения (7.85) равен рз = = /2. Таким образом, соотношения (7.74) и (7.78) показывают, что решение возмущенной начальной задачи записывается в следующей форме:

и{Ху t) = {Ktr- [{A + bc,)f (?, e) + bc,{tJtfW{l 72) + + ЬС2 {to/t) W {I 1) + be, [Ulti W (E, 72) + 0 {{t,ltf% (7.86) где й - коэффициенты разложения функции Oo(g) в ряд Фурье по собственным функциям оператора (7.79) -(7.80). Таким образом, автомодельное решение, построенное в главе 3, оказалось устойчивым относительно малых возмущений. Как видно, в данном случае константа А также оказалась измененной: Л=Л+бсо, так что инвариантность принятого нами определения устойчивости автомодельных решений используется и в этом случае. Проведенное выше исследование устойчивости решения модифицированной задачи о тепловом источнике было выполнено В. И. Керчманом [52].

В линейном случае (>ci = >c, 8 = 1, а=0) получается естественный результат -устойчивость автомодельного решения типа мгновенного теплового источника.

представление (7.86) решения возмущенной начальной задачи принимает в этом случае вид

и (X, t) = (l/t) [{А + Ьс,) ехр {-t/4) - 6с, {tjtf {1/2) ехр {-tl4) + + bclyt) (f - 2) ехр (-f/4)/4 +...]. (7.87)

Действительно, коэффициенты уравнения (7.79) в линейном случае (при 8 = 1) непрерывны, и оно записывается в форме

dW/dl + т) dW/dl + (1 + 2а) 4/2 = 0. (7.88)

При II = О решением этого уравнения, удовлетворяющим условиям (7.80) быстрого стремления к нулю на бесконечности, будет Эта функция не обращается в нуль ни при каком конечном g, следовательно, она является нулевой собственной функцией, а ы = р,о = О - нулевым собственным значением. Производная от по g, равная - (g/2)-/ обращается в нуль помимо бесконечности, только при g = О и удовлетворяет уравнению (7.88) при ji = V2, а также условиям на бесконечности. Следовательно, это первая собственная функция, а ji = jii = V2 - первое собственное значение. Таким образом, 4(g, p,i) = - (g/2)~/4 Аналогично находятся и последующие собственные значения \in = = n/2(n = 0, 1, 2, ...), а соответствующие собственные функции равны п-й производной от

Результат для линейного случая нетрудно получить непосредственно [44, 48], так как в этом случае имеется явное представление решения возмущенной начальной задачи.

Выполненный выше анализ продемонстрировал, что инвариантные решения - типа бегущей волны и автомодельные - представляют собой асимптотику решений определенного класса невырожденных задач с неинвариантными решениями.

Глава 8

ФРАКТАЛИ МАНДЕЛЬБРОТА И НЕПОЛНАЯ АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ

8.1. Представление о фракталях. Фрактальные кривые

В научной и научно-популярной литературе последнего времени широко обсуждаются фрактали. Так называются геометрические объекты: линии, поверхности, пространственные тела, имеющие сильно изрезанную форму и обладающие некоторыми специальными свойствами однородности и самоподобия, о которых будет сказано ниже. Такого рода объекты интенсивно изучались