давление много больше, чем начальное давление воздуха, влиянием которого на первой стадии взрыва можно пренебречь. Таким образом, радиус фронта ударной волны г/ через промежуток времени t после взрыва зависит от £, / и начальной плотности воздуха ро:

rf = rf{E, t, Ро).

Таким образом, п==3. Размерности определяющих параметров в классе MLT суть соответственно, [В] = ML4-\ [t] = Г; [ро] = = iWL~ Легко видеть, что k тоже равно трем, т. е. п - /г = О, так что функция Ф в выражении (1.18) не зависит ни от одного аргумента, т. е. превращается в данном случае в константу: Ф=С. Далее, как нетрудно показать,

откуда rf = C(Et/pof\

Эта формула показывает, что если измерять тем или иным способом радиус ударной волны в разные моменты времени, то в логарифмических координатах /2lgr/, \gt экспериментальные точки должны лечь на прямую

(V2)lgrf=(V2)lgC£V+lg

имеющую наклон, равный единице. Это подтвердил Тейлор, обработавший кинофильм о распространении огненного шара, снятый во время американских ядерных испытаний Дж. Маком (рис. 1.4). Как показывает более детальный расчет (см. следующую главу), значение С близко к единице. Зная это, по экспериментальной зависимости радиуса фронта от времени можно определить энергию взрыва. Публикация Тейлором этой величины, оказавшейся равной примерно 10 эрг (10 Дж), вызвала в свое время, по его словам, немалое смущение в американских правительственных кругах, поскольку эта цифра считалась весьма секретной, хотя фильм Мака секретным не был.

Приведем еще один, скорее забавный, пример применения анализа размерностей: докажем с его помощью теорему Пифагора (см. также книгу А. Б. Мигдала [66]). Площадь прямоугольного треугольника S определяется величиной его гипотенузы с и, для определенности, меньшим из острых углов ф:5 = /(с, ф). Очевидно, анализ размерностей дает: 8 = сФ{(р), Высота, перпендикулярная гипотенузе (рис. 1.5), разбивает основной треугольник на два подобных ему прямоугольных треугольника, гипотенузами которых являются уже соответственно катеты а и b основного треугольника. Стало быть, их площади равны 8[ = аФ{(р), 82 = = ЬФ{), где Ф(ф) -то же, что и в случае основного треугольника. Сумма площадей Si и S2 равна площади основного треугольника 5: S = Si + 52, откуда сФ {ср) = аФ {ср) + ЬФ {), так что = а + Ь, что и требовалось доказать. Видно, что теорема существенно опирается на евклидовость геометрии: в римановой гео-

метрии и геометрии Лобачевского имеется внутренний параметр Я. размерности длины и приведенное доказательство теряет силу, поскольку к числу аргументов функции Ф добавляется отношение гипотенузы к X.

Рассмотренные примеры показывают, что тривиальные, казалось бы, соображения анализа размерностей могут дать вполне содержательные результаты. Важнейшим элементом при этом

9,5-

Рис. 1.4. Распространение ударной волны при ядерном взрыве.

Опытные точки, определенные по кинофильму Мака, в координатах (5/2) Ig г,

Ig t, на большом промежутке времени легли на прямую линию с наклоном, равным единице.

Рис. 1.5. Доказательство теоремы Пифагора при помощи анализа разномерностей.

является правильный выбор совокупности определяющих параметров. Совокупность определяющих параметров находится просто, если имеется математическая формулировка задачи. Это множество независимых переменных и параметров задачи, входящих в уравнения, граничные, начальные и т. п. условия, определяющие, и притом единственным образом, решение задачи. Правильный выбор определяющих параметров в задаче, не имеющей явной математической формулировки, связан прежде всего с интуицией исследователя. Успех здесь зависит от правильного понимания того, какие параметры на самом деле важны, а какими можно пренебречь. Подробно этот вопрос будет обсуждаться ниже.

1.3. Подобие

В большинстве случаев, прежде чем изготовлять какое-либо дорогостоящее и крупное сооружение, например корабль или самолет, для получения наилучших его характеристик в предстоящих условиях работы прибегают к испытаниям на моделях -жо-

3 Заказ № 208

делированию. При моделировании надо знать, как пересчитать результаты опыта на модели на натуру: если этого не знать, моделирование бесполезно. Для рационального моделирования основным является понятие подобных явлений.

Понятие физического подобия естественно обобщает понятие геометрического подобия. Явления называются подобными, если они отличаются только численными значениями определяющих параметров и притом так, что для них соответствующие безразмерные величины III, П2, ..., Un-k совпадают.

В связи с данным определением подобных явлений безразмерные величины Пь П2, ..., Ип-и называются параметрами подобия.

Рассмотрим два подобных явления, одно из которых будем называгь натурным, а другое - модельным] разумеется, эти названия условны. Для обоих явлений имеет место некоторая зависимость вида

a = f{a ak. a+i, ..., (1.22)

причем функция / в обоих случаях, по определению подобных явлений, одна и та же, но численные значения определяющих параметров ах, ..., an у них разные. Таким образом,

a<> = /(al\ .... аТ\ а< > = КаГ\ .... Л (1-23)

где индексами р и т обозначены величины, относящиеся соответственно к натурному и модельному явлениям. Используя анализ размерностей, находим для обоих явлений:

П)=Ф(П1\ Ulflk); П =Ф(ПГ, ПГЛ), (1.24)

где функция Ф для модельного и натурного явлений одна и та же. Поскольку, по определению подобных явлений,

1 =lii , . . ., Пп-к = 11п-к,

отсюда следует, что

11)=иР) (1.25)

Возвращаясь снова к размерным переменным, в соответствии с (1.16), получаем из соотношения (1.25) простое правило пересчета результатов измерений с подобной модели на натурное явление:

аР = а* (аГ/а! *). (а/аГТ, (1-26)

для которого непосредственное измерение может быть по тем или иным причинам трудно выполнимым.

Условия подобия модели натурному явлению - равенство параметров подобия 111, ..Un-k для обоих явлений - указывают,