Эта ситуация в точности соответствует рассмотренной выше классификации автомодельных решений. Действительно, положим снова для решения типа бегущей волны

и = и (x - Xt + c),

x = lnl; = 1пт; с = -1пА.

Тогда это решение записывается, как мы уже видели, в виде

и {x-lt + c) = U (In= и, ЩАт), (6.59)

т. е. в автомодельной форме. Очевидно, что сформулированная выше классификация решений типа бегущей волны переводится на язык автомодельных решений. В частности, показатель К степени в выражении автомодельной переменной соответствует скорости распространения в решениях типа бегущей волны. Таким образом, разделение решений типа бегущей волны на решения, для которых скорость распространения может быть найдена из одних законов сохранения на фронте, и решения, для которых эта скорость получается из условия существования в целом внутренней структуры, соответствует разделению автомодельных решений на решения первого и второго рода. Соответствие автомодельных решений и бегущих волн будет не раз использоваться в дальнейшем.

Глава 7

АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ - СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ

7.1. Анализ размерностей и группы преобразований

Анализ размерностей, как уже упоминалось, имеет прозрачную групповую природу. Групповые соображения могут оказаться полезными и в тех случаях, когда для установления автомодельности и определения автомодельных переменных анализа размерностей становится недостаточно.

Напомним, прежде всего, определение группы преобразований. Пусть имеется множество преобразований с k параметрами

Xv = fv{xu ... Ль Ak), (7.1)

где /v (v= 1, ..., n)-гладкие функции своих переменных в некоторой области. Говорят, что это множество образует -параметрическую группу преобразований, если выполнены следующие условия:

1) среди преобразований (7.1) имеется тождественное преобразование;

2) для каждого преобразования (7.1) существует обратное, также принадлежащее к множеству (7.1);

3) для каждой пары преобразований из множества (7.1) - преобразования А с параметрами Аи ..Ak и преобразования В с параметрами Ви ..Bk - некоторыми соотношениями

С, = С,(Д, Л,; В ..., Bfe), /=1, /г

единственным образом определяется преобразование С с параметрами Ci, ..., Ck, также принадлежащее к множеству (7.1) и такое, что последовательное выполнение преобразований А и В равносильно преобразованию С. Преобразование С называется произведением преобразований А и В.

Анализ размерностей основан на П-теореме, подробно рассмотренной в главе 1. Эта теорема позволяет выразить функцию п переменных в зависимости между размерныш! величинами

а = /(а ak+i, ..а ) (7.2)

через функцию п - k переменных (k - число определяющих параметров с независимыми размерностями), представляя зависимость (7.2) в виде соотношения между безразмерными величинами

П = Ф(Пь П;,;,),

n = a/af... П, = а,Х--- > =Ь ..n-k.

Заметим теперь, что при любых положительных Аи Аг, ..., Ak преобразование подобия определяющих параметров с независимыми размерностями

ai = i4iai, a2 = 2a2, ..., ак = Аа (7.3)

может быть получено при переходе от исходной системы единиц измерения к некоторой другой системе единиц измерения, принадлежащей к тому же классу. При этом значения остальных параметров а, uk+u -cin меняются в соответствии с их размерностью следующим образом:

Непосредственная проверка легко показывает, что преобразования (7.3), (7.4) образуют -параметрическую группу. Величины П, Hi, ..., при всех преобразованиях группы (7.3), (7.4)

остаются неизменными, т. е. они являются инвариантами этой группы. Таким образом, П-теорема представляет собой простое следствие принципа инвариантности имеющих физический смысл соотношений между размерными величинами вида (7.2) относительно группы преобразований подобия определяющих параметров

с независимыми размерностями (7.3), (7.4). Действительно, если инвариантность имеет место, все такие соотношения должны быть представимы в виде соотношений между инвариантами группы (7.3), (7.4). Число независимых инвариантов группы, очевидно, меньше общего числа определяющих и определяемых параметров на число k параметров группы.

Инвариантность постановки и, следовательно, решения любой физически осмысленной задачи относительно группы преобразований (7.3), (7.4) обязательна. Может оказаться, однако, что существует более богатая группа, относительно которой инвариантна постановка рассматриваемой задачи. Тогда число аргументов функции Ф в универсальном (инвариантном) соотношении, полученном после применения анализа размерностей, в свою очередь должно уменьшиться на число параметров дополнительной группы, хотя из одного аналиеа размерностей (инвариантности относительно группы преобразований подобия величин с независимыми размерностями) эта автомодельность не вытекала. Рассмотрим несколько показательных примеров.

7.2. Пограничный слой на пластинке

Задача теории пограничного слоя при обтекании полубесконечной плоской пластинки направленным вдоль нее поступательным потоком вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса (задача Блазиуса) приводит к системе уравнений [59, 63]

и dxU + V dyU = vdlyUy dxU + dyV = 0, (7.5)

где X, у - продольная и поперечная координаты; и, v - соответствующие компоненты скорости; хО, у = 0 - пластинка; х = у = = 0 - ее острие; v - кинематический коэффициент вязкости. Граничные условия рассматриваемой задачи имеют вид

и{0, y) = U; и{х, суэ) = и; и {х, 0) = v {х, 0) = 0, (7.6)

Здесь хО; и - постоянная скорость внешнего потока. При произвольных числах Рейнольдса задача обтекания полубесконечной пластинки направленным вдоль нее поступательным потоком приводится к решению полной системы уравнений Навье-Стокса и неразрывности

udu + v dyU = -др/р + V (dljcU + dlyu);

udv + v dyV = -дур/р + V {dljcv + dlyv);

du + dyv = 0

при условиях

u{x, 0) = ti(x, 0) = 0 при x>0; u{x, y)-U при y-co и x--co, y = 0; {Xy y)~0 при у2-со.