строго показано О. А. Олейник [81]. Как видно, в данном случае величина скорости распространения Яо получается из закона сохранения и не зависит от структуры волны, т. е. от вязкости v. От вязкости зависит, как показывает соотношение (6.14), только пространственный масштаб переходной области, т. е. ширина фронта .

Вполне аналогично обстоит дело также в случае ударных волн в газе и детонационных волн: скорости распространения этих волн определяются из законов сохранения массы, импульса и энергии и не требуют для своего определения привлечения структуры волн. Структура волн определяет ширину переходной области.

6.3. Пламястационарная бегущая волна второго рода

Рассмотрим теперь бегущие волны другого типа, для которых скорость распространения не может быть найдена только из законов сохранения и определяется из анализа их структуры.

Математически строгое исследование бегущих волн в нелинейных задачах с диссипацией было впервые предпринято в фундаментальной работе А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского и Н. С. Пискунова [57], выполненной в связи с биологической проблемой определения скорости распространения гена, имеющего преимущество в борьбе за существование. Для описания структуры переходной зоны вблизи границы областей обитания генов обоих типов ими было получено нелинейное уравнение диффузии

dtV-yidljcV = F{v), (6.17)

где t; -концентрация гена, имеющего преимущество в борьбе за существование, а F{v)-скорость порождения гена, непрерывная и нужное число раз дифференцируемая функция, определенная в интервале О и 1 и обладающая в согласии с физическим смыслом задачи следующими свойствами:

f (0) = f (1) = 0; F(v)>0 при 0<v<U f(0)=a>0;

F{v)<a при 0<v<L (6.18)

Уравнение (6.17) при таких условиях имеет решения типа бегущих волн: v = V{t,)\ = X - U + C, удовлетворяющие условиям v{-оо) = 1, v{oo) =0 при любой скорости распространения,

большей или равной Ко = 2/ка, и любых с. Наиболее существенно то, что среди этих решений только решения, отвечающие крайней нижней точке интервала возможных скоростей распространения, могут быть асимптотическими представлениями при ->оо реше-

Следует отметить, что близкое по результатам исследование было одновременно и независимо выполнено Р. А. Фишером [127] (см. также книгу Дж. Мюррея [170]).

нии начальных задач с условиями такого же переходного типа, что и в (6.16):

V (л:, 0) = 1 при л: < а; О < у (л:, 0) < 1 при а<х<Ь\

v{x, 0) - О при хЬ, (6.19)

Другими словами, оказалось, что непосредственное рассмотрение решений типа бегуш,их волн дает непрерывный спектр возможных скоростей распространения ЯЯо = 2уха, и только решение, соответствующее нижней точке этого спектра Я = Хо, может быть при ->оо асиптотикой решения начальной задачи с условиями переходного типа: остальные бегущие волны неустойчивы. Величина Яо определяет искомую скорость распространения гена, имеющего преимущество в борьбе за существование.

Заметим, что условие {р) < а не является необходимым для установления волны, имеющей скорость распространения Pio =

= 2уха. Это было показано численным экспериментом и аналитическим исследованием в работе А. П. Алдушина, Я. Б. Зельдовича и С. И. Худяева [2].

Мы рассмотрим здесь более детально близкую задачу о тепловом распространении пламени в газовых смесях [41, 45, 49, 124, 198, 199]. Сформулируем простейшую схематизацию задачи. Пусть в ходе реакции уничтожается компонента газовой смеси, концентрацию которой мы обозначим через п. Скорость реакции q, т. е. масса горючего вещества, сгорающего в единице объема за единицу времени, зависит от концентрации п и температуры и. Введем обозначение

= (1/т)Ф(/г, и), (6.20)

где Ф -функция, имеющая размерность плотности, а т -некоторая постоянная размерности времени (характерное время реакции), величина обычно весьма малая. Из физической химии известно, что зависимость скорости реакции от температуры очень сильная: небольшое изменение температуры сильно меняет скорость реакции. Мы будем считать, что реакция необратима, так что Ф 0. Далее, исходное состояние газовой смеси п=1, и = = Ui предполагается равновесным и устойчивым. Для этого достаточно, чтобы функция Ф(п, и) была равна нулю не только при начальной температуре w = Wi, но и в некотором интервале температур UiuUi + ZS. (смысл этого условия будет пояснен ниже). Очевидно также, что реакция не идет в отсутствие горючего вещества. Таким образом, предполагается, что функция Ф(п, и) удовлетворяет условиям

Ф(п, г/)>0; Ф{п, и)0 при 0</г<1,

Uluщ+; Ф{0,и)=0, (6.21)

Скорости газа при распространении пламени малы сравнительно со скоростью звука, поэтому можно сжимаемостью газа

пренебречь и считать плотность газовой смеси зависящей только от температуры 1: р = р{и). Наконец, реакция считается экзотермической: при сгорании происходит тепловыделение. Тепловой эффект реакции, т. е. количество тепла, выделяющееся при сгорании единицы массы горючего газа, обозначим через Q. Согласно сказанному, система основных уравнений движения смеси горючего газа и образующихся в ходе реакции продуктов сгорания записывается в виде

dtpVi + dapViVa = -dip; дф + dpv = 0; р = р {и)\ dtpn + dapnva = dapD даП - (1/т) Ф (п, и)\ dtpou + dapouva = dkdu + (Q/т) Ф (n, и), (6.22)

Первые три уравнения - обычные уравнения движения несжимаемой жидкости, плотность которой зависит от температуры (по повторяющемуся индексу а предполагается суммирование от а=1 до а=3). Далее идут уравнение баланса массы горючего газа и уравнение энергии. В этих уравнениях Vi - компоненты вектора скорости смеси, р - давление газа, k - коэффициент теплопроводности, D - коэффициент диффузии, а - удельная теплоемкость при постоянном давлении; два последних коэффициента мы будем считать постоянными.

Рассматриваемая задача имеет два линейных масштаба, сильно отличающихся между собой: внутренний масштаб Li =

= VDt, характеризующий размер области, в которой происходят процессы химической реакции, диффузии и теплопередачи, и внешний масштаб L2=L -размер сосуда, камеры сгорания, диаметр горелки и т. д. Ввиду сильного различия этих двух масштабов естественно применить в рассматриваемой задаче метод сращиваемых асимптотических разложений [211, 120, 157]. Рассмотрим сперва внешнее асимптотическое разложение решения, для чего перейдем к безразмерным переменным, в которых за масштаб

длины принят внешний масштаб L, а за масштаб времени HJDjx. При этом уравнения переноса вещества и энергии - последние два уравнения системы (6.22) -примут вид

8((?еР + аРа)=еаРа -Ф(,

8 (дфои + дароиМ=да {kjD) ди + QФ (п, и), (6.23)

где 6 -безразмерное медленное время, Q = ty/D/x/L; Уа =

= vJaJDlx\ оператор берется по безразмерным пространственным переменным, отнесенным к L; = L\lLX. Таким образом,

везде, кроме узких областей, в которых градиенты температуры и

Мы пренебрегаем также различием плотности горючего газа и плотности продуктов сгорания при одной и той же температуре. Это предположение непринципиально и принимается для упрощения вычислений.