Резка промышленных проемов: www.rezkabetona.su 
Навигация
Популярное
Публикации «Сигма-Тест»  Промежуточная асимптотика (развивающееся направление) 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [ 35 ] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82

щим при этом его движением, т.е. будем считать плотность газовой смеси не зависящей от температуры. Наконец, все теплофизи-ческие характеристики смеси также будем считать постоянными и примем, что k/poD = 1.

В этих предположениях уравнение энергии (6.24) переписывается в виде

d,u = dliu + f{u), (6.46)

/ (и) = (Q/pa) ФЦщ - и) a/Q, и]. (6.47)

Рассмотрим для уравнения (6.46) задачу о зажигании с начальным условием при 0 = 0:

и{1 0) = U2 при U<£o; ti{l 0) = Що при \l\>h (6.48)

Физический смысл задачи (6.48) очевиден: речь идет об инициировании распространения пламени некоторой массой сгоревшего газа. Постоянная о определяет величину этой массы, равную (на единицу площади) 2ploDx, постоянная ию - начальная температура холодной газовой смеси. Из соображений симметрии можно рассматривать решение только при gO и поставить при g = О условие тепловой изоляции

diu = 0, (6.49)

Пусть теперь температура Мю настолько мала, что скорость реакции при этой температуре и величина 6=f{uio)/uio малы. Тогда и в некотором интервале температур вблизи u = Uio можно считать, что f(u) = 8F{u)y где 6<С1, а величина (0 имеет порядок и.

Учет протекания реакции в области перед фронтом пламени означает, что условие Ui) = О заменяется соотношением

dujdd = f {u,)=6F (щ), (6.50)

которое получается из основного уравнения баланса энергии (6.22) в реагирующей смеси, если градиенты температуры пренебрежимо малы. Введем теперь новое безразмерное медленное время Т= 8, основанное на масштабе времени т/б реакции в области перед фронтом пламени. Тогда соотношение (6.50) записывается в виде системы

duJdT = F {uy)\ dTjd = 6. (6.51)

Задавая начальную температуру смеси перед фронтом Ui = = Uio и интегрируя (6.51), получаем зависимость температуры перед фронтом от медленного времени Т : ui = Ui{T). Удобно ввести относительное, изменение температуры внутри зоны реакции, согласно соотношению

0 = [и (I, - щ (Г)]/[ 2 - Щ (Т)1 (6.52)



Подставляя (6.52) в уравнение (6.46), получаем уравнение для в в виде

e = 40 + fi(0> (6.53)

/j(e, T) = [f{u, + {u2-u,)&)-f{u,){l-e)]/lu2-u,{m (6.54)

Функция /i(0, Г), в отличие от f{u), обращается в нуль как при @ = 0, и = uu так и при &=1, u = U2.

В нулевом приближении по б второе соотношение системы (6.51) дает dT/d{ = 0, и функция fi(e, Т) перестает зависеть от

Рис. 6.4. Численный эксперимент показал хорошее согласие численного решения и промежуточных асимптотик типа бегущих волн в переходной области.

/ - численное решение в разные моменты времени, 2 - промежуточные асимптотики, полученные решением нелинейной задачи на собственные значения. Точками отмечены места совмещения.


Времени -д явно: Т становится параметром. Таким образом, можно снова построить решение уравнения (6.53) типа бегущей волны

0 = 0(0, = 1-Х{Т)д + с{Т),

(6.55)

которое представляет собой промежуточную асимптотику решения рассматриваемой неинвариантной задачи (6.46) -(6.48) в переходной области. Подставляя (6.55) в уравнение (6.53) и граничные условия 0 = 1 при I = -оо, 0 = 0 при = оо, получаем нелинейную задачу на собственные значения:

0(-oo)=l; 0((X)) = O,

(6.56)

решение которой определяет функции 0(g, Т) и К = Хо{Т). Функция с(Т) остается при непосредственном построении инвариантного решения типа бегущей волны (6.55) неопределенной. Ее можно найти численно сращиванием с асимптотикой исходного неинвариантного решения.

На рис. 6.4 приведены результаты сравнения численного решения задачи (6.46) -(6.48) с промежуточной асимптотикой - решением вида бегущей волны (6.55). Функция с{Т) в решении (6.55), определялась совмещением точек, отвечающих 0 = 0,5 в инвариантном решении и численном решении неинвариантной



задачи. Как видно, промежуточная асимптотика в переходной области близка к решению, полученному численным расчетом.

Проведенный в этом параграфе анализ следовал с небольшими изменениями работам Я. Б. Зельдовича с сотрудниками [43, 2]. Любопытно, что, как показали численные расчеты, выполненные в работе [2], зависимость скорости распространения от медленного времени Т хорошо согласуется на большом интервале температур с формулой Колмогорова-Петровского-Пискунова

o(n = 2V/i(0 П, (6.57)

несмотря на то что условие f[(@, Т) </[(0, Т) здесь не удовлетворяется. Это обстоятельство получило в работе [2] также и аналитическое объяснение.

Оценим теперь, в каких случаях необходим учет реакции перед пламенем. В рассматриваемой задаче имеется два малых параметра: отношение толщины фронта к внешнему масштабу е =

= VDt/L и безразмерная скорость тепловыделения в смеси при начальной температуре 8 = f{uio)/ию. Изменение состава смеси вдали от пламени происходит за время порядка т/б; характерное

время распространения пламени по сосуду составляет L/D/x\

скорость пламени по порядку величины составляет VD/t. Реакцию в области перед пламенем необходимо учитывать, если второе характерное время имеет порядок первого или больше его:

t/6<Z/VA, так что 6>8. (6.58)

Если 6<с8, можно принимать условие Ф(п, Ui) = О и, более того, считать, что Ф(п, и)=0 в некотором интервале температур uiu Ui+A вблизи исходной температуры. Это условие определяет область применимости сделанных выше предположений.

Мы продемонстрировали хорошо известный факт - существование двух типов стационарных бегущих волн. Как уже говорилось, для определения скорости распространения волн первого рода достаточно внешних законов сохранения; для определения скорости распространения волн второго рода внешних законов сохранения недостаточно и необходимо привлечь внутреннюю структуру волн. Скорость распространения бегущих волн второго рода определяется из условия существования внутренней структуры в целом, т. е. из условия существования решения типа бегущей волны уравнений движения в переходной области, удовлетворяющего краевым условиям на границах этой области.

Иногда (см. главу 7) скорость распространения определяется при рассмотрении структуры неоднозначно. Это значит, что она зависит от начальных условий исходной задачи, асимптотикой решения которой служит бегущая волна.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [ 35 ] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82



© 2010 www.sigma-test.ru Санкт-Петербург: +7 (812) 265-34-48, +7 (812) 567-94-10
Разработка и поддержка сайта: +7(495)795-01-39 после гудка 148651, sigma-test.ru(my_love_dog)r01-service.ru
Копирование текстовой и графической информации разрешено при наличии ссылки.