Резка промышленных проемов: www.rezkabetona.su 
Навигация
Популярное
Публикации «Сигма-Тест»  Промежуточная асимптотика (развивающееся направление) 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82

в соответствии с данным выше определением, решения типа бегущих волн представляются в виде

v = Vix-X{t)) + Vo{t). (6.1)

где V - рассматриваемая характеристика явления; х - пространственная декартова координата - независимая переменная задачи; / - независимая переменная, отождествляемая со временем; X{t), Vo{t) - зависящие от времени сдвиги по осям х и v. В частности, если свойства процесса от времени непосредственно не зависят, так что определяющие процесс уравнения не содержат времени явно, бегущая волна распространяется равномерно:

v = V {x-Xt + c)+iit + v. (6.2)

Здесь Я, 1, V, с - постоянные, причем к и \i имеют смысл скоростей сдвига по осям х и v. Для важного класса стационарных бегущих волн скорость, сдвига вдоль оси v равна нулю, р, = 0:

z) = V (x - Xt + c), (6.3)

Именно стационарные бегущие волны описывают, в частности, структуры верхнего термоклина в океане, ударных волн и пламени.

Решения типа бегущих волн тесно связаны с автомодельными. В самом деле, положим в (6.1)

v = lnu; / = 1пг, Vo{t) = lnuo{T); V = lnU;

x = \nl; X{t) = lnh{r). (6.4)

При этом получается представление бегущей волны в автомодельном виде:

u = Uo{T)U{llh{r)]. (6.5)

В частности, выражение (6.2) для равномерно распространяющейся бегущей волны приводится к не раз встречавшемуся в предыдущих главах автомодельному виду со степенными автомодельными переменными:

u = BxW {ЦАх ), (6.6)

где Л, fi -константы. Отмеченная здесь простая связь автомодельных решений и бегущих волн хорошо известна; она использовалась для упрощения исследования некоторых автомодельных решений (см., например, [100]). Удивительно, однако, что долго оставалась незамеченной связь классификации автомодельных решений, рассмотренной в предыдущей главе, с известной классификацией стационарных бегущих волн.

Действительно, как уже упоминалось, стационарные бегущие волны описывают структуры фронта ударных волн, пламени и иных подобных областей быстрого изменения плотности, скорости



и прочих характеристик движения, которые без учета диссипатив-ных процессов описываются поверхностями разрыва. При этом различаются (см., например, [98]) два типа таких фронтов. Для одних (ударные волны в сжимаемом газе, детонационные волны и др.) скорость распространения фронта находится только из законов сохранения массы, импульса и энергии. Структура фронта приспосабливается к законам сохранения в том смысле, что при одной и той же скорости распространения фронта, диктуемой законами сохранения, его ширина может быть различной в зависимости от характера диссипативных процессов в переходной области и диссипативных коэффициентов. Разумеется, анализ структуры ударных волн позволяет отмести нереализуемые ситуации типа ударных волн разрежения, для которых нельзя построить структуру, но в остальном скорость распространения фронта определяется независимо от структуры переходной области.

Для фронтов второго типа (пламя, газовый разряд и др.) при определении скорости фронта одних законов сохранения становится недостаточно. Скорость фронта для волн второго типа находится как некоторое собственное значение при построении структуры фронта, т. е. при построении решения типа бегущей волны уравнений, описывающих диссипативные процессы в переходной области.

Оказывается, что эта классификация бегущих волн соответствует приведенной выше классификации автомодельных решений. Мы здесь рассмотрим простейшие примеры стационарных бегущих волн обоих типов, после чего убедимся в соответствии обеих классификаций.

6.2. Ударная волна Бюргерса - стационарная бегущая волна первого рода

Уравнение Бюргерса

dtv + vdv=\dljcv (6.7)

представляет собой удачную, хотя и упрощенную модель движения вязкого сжимаемого газа. Здесь v - скорость, v - кинематическая вязкость, X - пространственная координата, t - время. Если пренебречь вязкостью, уравнение (6.7) примет вид простейшего модельного уравнения газодинамики

dtV + vdv = Q, (6.8)

Последнее уравнение имеет решение типа равномерно распространяющейся ударной волны v = V{t,), = x - Xt + c, где V{t,) - ступенчатая функция, равная ui при S > О и иг при SO, причем vi < V2. Значение скорости распространения Х = ко получается из



закона сохранения импульса на фронте разрыва, соответствующего уравнению (6.8):

(vi - V2) + (у? - vl)/2 = О, (6.9)

откуда находим

h={vi + V2)/2. (6.10)

Учтем теперь диссипативные процессы, т. е. вязкость, и вернемся к уравнению Бюргерса (6.7). Построим решение уравнения (6.7) типа бегущей волны:

v = V{0, t, = x-lt + c. Подставляя это выражение для и в (6.7), получаем:

. dV , dV dW ,а ii\

-dZW

откуда, интегрируя и используя условие V = Ui при g = oo, находим:

V dV/dt, = -X{V V,) + (V - у?)/2. (6.12)

Для удовлетворения условия на левом конце V{-oo) = V2 нужно принять

= (t;i + t;2)/2 = Xo. (6.13)

Интегрируя (6.12) с учетом (6.13), получаем решение в виде

C/V - 12/{V2 - V,)-] In {V2 - V)/{V - V,), (6.14)

He уменьшая общности, константу интегрирования мы приняли равной нулю, поскольку выражение для независимой переменной t уже включает произвольную аддитивную постоянную.

Это решение и описывает структуру переходной области в характерном для этой области пространственном масштабе v/(v2 - - Vi). Мы видим, что поставленное выше условие V2> vt существенно, поскольку решения, описывающего структуру переходной области волны, для которой V{-00) = V2 < Vi = К(оо), не существует. Действительно, уравнение (6.12) с учетом (6.13) принимает форму

vdVldt, = {v2-V) (К -t;i)/2. (6.15)

Поскольку V лежит между Vi и V2y правая часть (6.15) отрицательна всегда, а левая часть отрицательна лишь при V2>Vi.

Решения типа бегущей волны с Я = Яо служат асимптотическими представлениями решений начальных задач для уравнения Бюргерса с начальными данными переходного типа:

v{x, 0)=у2 при л:<а; Vi<v(x, 0)<V2 при а < х < b;

v{x, 0)=vi при xb, (6.16)

где а, 6 - произвольные действительные числа (а<6), а функция v{x, 0) - монотонно невозрастающая: dxv{x, 0) 0. Это было



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82



© 2010 www.sigma-test.ru Санкт-Петербург: +7 (812) 265-34-48, +7 (812) 567-94-10
Разработка и поддержка сайта: +7(495)795-01-39 после гудка 148651, sigma-test.ru(my_love_dog)r01-service.ru
Копирование текстовой и графической информации разрешено при наличии ссылки.