Явление, развивающееся во времени, называется автомодельным, если распределения его характеристик в разные моменты времени получаются одно из другого преобразованием подобия. Установление автомодельности всегда было успехом исследователя: автомодельность упрощала вычисление и представление характеристик явления. При обработке опытных данных автомодельность приводила к тому, что, казалось бы, беспорядочное в обычных координатах облако опытных точек ложилось на единую кривую или поверхность, построенную в некоторых специальным образом выбранных автомодельных координатах. Автомодельность позволяла во многих случаях свести задачу математической физики к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, что существенно упрощало исследование. Поэтому при помощи автомодельных решений исследователи пытались увидеть характерные свойства новых явлений. Кроме того, автомодельные решения использовались как эталоны при оценке приближенных методов решения более сложных задач.

Появление вычислительных машин изменило отношение к автомодельным решениям, но не уменьшило интереса к ним. Раньше считалось, что переход от уравнений в частных производных к обыкновенным уравнениям упрощает дело. В связи с этим автомодельные решения привлекали внимание прежде всего из-за простоты их получения и анализа. Постепенно ситуация усложнялась. Во многих случаях оказалось, что наиболее простым способом численного счета краевых задач для систем обыкновенных уравнений, к которым приводилось построение автомодельных решений, становится счет методом установления решений уравнений в частных производных. Автомодельность же по-прежнему продолжала привлекать внимание как глубокий физический факт, свидетельствующий о наличии определенного типа стабилизации исследуемых процессов, имеющего место для достаточно широкого круга условий. Кроме того, автомодельные решения стали использоваться как первая ступень при начале численного счета на машинах. По всем этим причинам поиск автомодельностей в последнее время начинался сразу, как только открывалась новая область исследования.

То, что одну из независимых переменных мы здесь отождествляем со временем, не имеет значения: она может иметь любой физический смысл.

2. Показательные примеры автомодельностей дают некоторые сильно идеализированные задачи математической теории теплопроводности. Пусть в начальный момент / = О в некоторой точке бесконечного пространства, занятого теплопроводящей средой, мгновенно выделяется конечная порция тепла Е. Тогда в момент t приращение температуры и в произвольной точке пространства определяется, как доказывается в математической теории теплопроводности, соотношением

и = [Е/с (2 V-)] ехр (-г2/4х/). (1)

Здесь с - теплоемкость среды и к - ее температуропроводность. Эти характеристики среды предполагаются постоянными. Далее, г - расстояние от точки, в которой производится наблюдение, до центра - точки, в которой в начальный момент было выделено тепло.

Структура выражения (1) показательна: существуют масштаб температуры Uo{t) и линейный масштаб ro{t), зависящие от времени:

Uo{t) = E/c(f; ro(0=V, (2)

и такие, что распределение температуры в пространстве, представленное в этих масштабах, перестает зависеть от времени:

lir-Ki) И)-ехр(-£),. , = . (3,

Приведенный пример типичен. Пусть перед нами задача математической физики с двумя независимыми переменными г и приводящая к решению системы уравнений в частных производных. В этой задаче автомодельность означает, что можно так выбрать переменные масштабы Uo(0 и го(), что представленные в новых масштабах характеристики явления выразятся через функции одной переменной:

u = Uo(OU(); c = r/ro(t). (4)

Решение задачи при этом приводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений для функций U(H).

3. Естественной была попытка выяснить природу автомодельностей. Здесь на определенном этапе существенную роль сыграло привлечение анализа размерностей. Под этим названием кроется весьма простая система понятий и правил, которая заслуживает, однако, того, чтобы в ней разобраться.

Пусть имеется какая-то зависимость, определяющая величину а в функци!! п параметров ai, 2, ..., п:

а = /(аь 2, а), (5)

Если эта зависимость имеет физическое содержание, то соотношение (5) должно отражать тот бесспорный факт, что хотя

числа а, ai, . . ., йп выражают значения соответствуюидих величин в определенной системе единиц измерения, физическая закономерность, которую это соотношение представляет, от произвола при выборе единиц измерения не зависит. Для того чтобы выяснить, что отсюда следует, разобьем величины а, ai, аз, .. ., йп на две группы. В первую группу (ai, ..., аи) включаются определяюидие величины с независимыми размерностями (например, некоторая длина, скорость, плотность и т. д.). Во вторую группу (а, a+i, . . . ..., йп) входят величины, размерности которых можно выразить через размерности величин первой группы. Таким образом, например, величина а имеет (подробнее см. п. 1 главы 1) размерность

произведения afaf ... а, величина аи\ - размерность произведения af+ 2*+ . . . и т. д. Степени р, , ... получаются простым подсчетом. При этом величины

оказываются безразмерными, так что их значения будут одними и теми же при любом выборе единиц измерения. Независимость закономерности, имеющей физический смысл, от выбора единиц измерения означает в действительности, что соответствующее ей соотношение (5) можно представить в виде

П = Ф(Пь П,,). (7)

Это соотношение связывает безразмерную величину П с безразмерными же величинами П1, ..., Yln-k, которых, однако, на k меньше, чем исходных размерных определяющих параметров аи ..CLn. Если теперь в соотношении (7) вернуться к прежним размерным переменным а, аи . an и сравнить получающееся соотношение с (5), то окажется, что функция п аргументов f ( 1, ..an) на самом деле может быть представлена через функцию меньшего числа аргументов. Число аргументов меньше исходного на столько, сколько среди величин аи . йп имеется величин с независимыми размерностями. Уменьшение числа аргументов упрощает исследование, иногда - существенно.

4. Применим теперь анализ размерности к рассмотренной выше тепловой задаче. Приращение температуры и, которое мы ищем, удовлетворяет уравнению теплопроводности

ди = xr~ дгг drU (8)

при следующих условиях: температура на бесконечности и в начальный момент везде, кроме центра, невозмущена:

и {г, 0)-0 при.г:70; i/(oo, 0 = 0, (9)