и глубину канавок

2£opt2-l,4 2,8. мкм.

По формуле (6.72) вычислим момент сил вязкого трения

1 (.2яОД2£4г 0,75.6,28.2500-0,488-3,8.1,82-10-15

,1 = 0,75-g-= -- .11 гссм.

Мощность, затрачиваемая на преодоление сил вязкого трения, будет равна

QSt= 1,1 10-*-2500 0,28 кг.м/с=: 2,7 дж/с.

К этой мощности надо прибавить вентиляционные потери и мощность, затрачиваемую в упорных подшипниках..

Дл оценки радиальной статической жесткости подшипника будем исходить из формулы (4.71). Эта формула выведена для сину- соидального профиля, и поэтому в данном случае она будет давать заниженные результаты.

Вычисляем Хо

Хо = Л (1 - Т1)2 = 21 (1 -0,45)2 6,4. Находим комплексный интеграл из приложения 2 (Хо. Оо) = Ао+ iBo 0,9 - 0,06t.

Подставляя значения всех величин в формулу (4.71) и производя вычисления, получим удельную радиальную жесткость

Ifilcos®

epaDL

5,2

и угол нагрузки

Отсюда найдем следующую оценку для радиальной жесткости лодшипника

I f 11 cos Ф 5,2.3.8-0,48 е ~ 1,75-10-*

54 ООО кгс/см.

Таким образом, как запас устойчивости, так и радиальная жесткость оказываются достаточно высокими.

2. В качестве второго примера рассмотрим расчет ненагруженных радиальных подшипников в случае, когда каждый из них состоит из двух простых цилиндрических втулок со смещенными относительно друг Друга параллельными осями (см. рис. 9). Устойчивость ротора в таких подшипниках достигается при отсутствии внешней нагрузки благодаря эксцентричному смещению вала относительно втулок.

Расчет оптимальных параметров будем производить, исходя из критерия максимума запаса устойчивости, при некоторых условиях, накладываемых на параметры подшипника. 172

Если ввести в рассмотрение коэффициент запаса устойчивости у < 1, то критерий устойчивости для цилиндрического подшипника (6.46) можно представить в виде

Ж = тЛГЛг), Л, U (6.76)

4Li4ih

Pa

(6.77)

126ят1М1-л) feyx

(l-Tl2)3/2 1+AMI-11)*

feyx - 0 -f л (1 - Tl)2

(6.78)

Лщ -минимальный зазор; %i = L/D - относительная длина одной втулки; - коэффициент утечки; Mj-масса ротора

приходящаяся на одну втулку; т) = 1-- эксцентриситет; Л =-( У -число сжимаемости. Остальные обо-

Ра \ mln /

значения прежние.

Из выражения для критической массы видно, что она зависит только от параметров т], Л и Xj. -

При оптимизации параметровбудем предполагать, что задаются параметры и Xj, а средний зазор б является варьируемым вместе с радиусом R шипа. Все остальные параметры - р . Ра, Q, Ml, у -также предполагаются заданными. Таким образом, уравнение (6.76) содержит две независимые варьируемые величины 8 и R.

Второе уравнение мы получим из условия максимума безразмерной критической массы М:

= 0.

(6.79)

Решая последнее уравнение относительно т] и подставляя затем это решение в (6.76), получим одно уравнение с одной неизвестной Л

М =утах М{г], Л, Х).

<Т1>

(6.80)

Решение этого уравнения дает Aopt, которое зависит от всех заданных параметров, включая и параметр у. По найденному Aopt находится T]opt, а затем Ropt и 6opt.

Для случая достаточно длинной втулки, когда Х > 1,. коэффициент утечки кут. 1.

Это обстоятельство позволяет упростить процедуру вйчисле-ния оптимальных параметров путем итераций. При первой итерации принимаем ky. = I и рассчитываем оптимальные параметры без учета утечки. Уточнение получим при второй итерации,

вычисляя kyi по результатам первой итерации. При решении уравнения (6.80) удобно применять графический метод.

Обозначим решение уравнения (6.79) для случая fey = 1 через т) = TiO(A). Это решение представлено графиком (рис. 36).

Запишем (6.80) в виде

-k-MM, Л).

(6.80)

Путем построения графиков функций (рис. 37):

V ~ . Рнс. 36 Ут

n = AJnO. Л) находим Aopt как абсциссу точки пересечения.

Пример. Примем в качестве исходных слелуютир ляннир- h - \ й = 2500 рад/с; = 1 кгс/см- ц =.Ю-Сс/см Г= = 2 лГ, =

Масса распределяется на 4 втулки, относительная длина каждой из которых равна 2.

Требуется рассчитать оптимальные значения /?, б и полагая коэффициент Y = 0,07.

Рассчитаем при fey = 1

у с 27AlnQS

27.0,36.1,82.10-1 .2,5.109 0,981.103.0,07.2.1,75-10-* ~

:*Г,2.10

Рнс. 37

По графику для (рис. 37) определяем Лр 12, а по графику для т] (Л) (рис. 38) находим rjpj 0,62, откуда

б mm 1,75

l-opt ~ 1-0,62

Рассчитаем величину

Q 6-1,82-10-1-2,5-103

4,6 мкм. 2,7.10-е.

Из выражения для Л находим:

opt = Vm = 1.75-10-0 Y.IO- = 0.37 см.

отсюда получаем:

Z-i = XiD = 2-2.0,371,5 см. Общая длина 4 втулок будет равна

L = 4Ц6 см.

Полученные результаты уточняем путем вычисления второго приближения, вначале k..

Хо = V С - opt)= 12-0.382 1.73.

Для этого находим вначале k.. Вычисляем

По вычисленному х - 1.73 и riopt ~ 0,62 с помощью приложения 2 находим коэффициенты:; 0,7; -0,17. Вычисляем ky. по формуле (6.78)

ky = A, + - = 0,7-0,6.

Учитывая этот коэффициент в знаменателе выражения для Y производим перерасчет оптимальных параметров о

с помощью графиков для т и 2 находим: Лр 16,5; opt== 0,67, и далее

1.75

*opt - 1 0,67

5,3 мкм; О

Рис. 38

= 1.75.10-* Y 2JlU - Lj =2-2.0.43 : 1.7 см; L = 4.1,76,8 см.

Производя еще одну итерацию, можно убедиться в том. что процесс сходится.

Сопоставим теперь полученные здесь результаты с результатами расчета радиального подшипника с шевронными канавками в первом примере. В обоих случаях минимальный зазор, масса, угловая скорость и физические параметры смазки одинаковы. Длина во втором примере получалась несколько большей, но зато радиус меньше. Выясним, на сколько изменится коэффициент запаса у шевронного подшипника в первом примере, если принять R = 0,43; L = 6,9 см. Можно показать, что соответствующий множитель будет равен

/МЗ.Ч

V 0.48 ;

3 6

1.1,

а коэффициент запаса устойчивости шевронного подшипника увеличится с 0.027 до 0,03. Таким образом в рассмотренных двух примерах при одинаковых минимальных зазорах и размерах шевронный подшипник обеспечивает больший запас устойчивости, приблизительно в два раза.

3. Рассмотрим в качестве третьего примера расчет оптимальных параметров простых радиальных подшипников, нагруженных собственным весом ротора. Предположим, что несущие поверхности шипов и подшипников имеют формы идеальных круговых цилиндров, причем оба подшипника идентичны, а ротор симметричен и его массы распределены равномерно на подшипники.

Здесь необходимый для устойчивости эксцентриситет создается собственным весом ротора, вал которого при этом предполагается горизонтальным.

При расчете, так же как и в предыдущем примере, будем исходить из критерия максимума запаса устойчивости (6.79), (6.80). Различие рассматриваемого примера от предыдущего состоит в том, что эксцентриситет здесь уже зависит от нагрузки и, следовательно, от массы ротора. Это приводит к необходимости учитывать дополнительное соотношение между коэффициентом нагрузки как функции числа сжимаемости Л, эксцентриситетом т] = 8о и относительной длиной X

н = = н(Л, г Ц.

(6.81)

Наличие дополнительного условия (6.81) стесняет выбор параметров, и в данном случаеОтносительная длина К при заданной массе ротора М = 2Mi должна рассматриваться как варьируемый параметр.

Следует различать два варианта задачи:~

1) определение Ropt, 6opt и Mopt при заданных р р, hj,

2) определение i?opt, 6opt. opt при заданных р р, /inim. Q, М.

При составлении уравнений для оптимальных параметров, как и прежде, принимаем в расчет оптимальную -зависимость т)0 = Т1<(Л, К) и условие (6.80), при этом безразмерную массу М, входящую в условие устойчивости, выразим через коэффициент нагрузки S следующим образом:

=-i?LD-\-R-) (6.82)

PaDL -4рА л1

Pa

(6.83)

(6.84) (6.85)

В выражении (6.82) варьируемыми параметрами являются и Л, тогда как bad определяются заданными параметрами

р, Оа, й, Таким образом, варьируемый параметр связан

с Л и является зависимым.

Учитывая формулу (6.82), и принимая коэффициент запаса

Y < 1, запишем условие устойчивости в виде

Сн(г1. Л, К) = уМАп< Л, X).

(6.86)

Это условие связывает три варьируемых величины т], Л и X. Используя условие оптимальности (6.79), выразим г] через Л и X. Тогда получим уравнение с двумя неизвестными

[yf{A, X), Л, X] = уЖ Ы (Ло, Х); Л, X]. (6.87)

Еще одно уравнение для неизвестных Л и X получается из (6.81) и (6.83)

Г [П (Л, X), Л, X] =

bgmi

(6.88)

Здесь отмеченные нулем величины определяются при т] = т] (Л, X), причем Мк вычисляется по формуле ,

Мк = max

<Т1>

kyr(y], л, К)

(1 2)3/2 i+Al

(6.89)

0.8 0.6 О.Ч

8 12 Рис. 39

20 2iA

а вычисляется как удельная статическая нагрузка по данным гл. IV или [57].

Если решить систему уравнений, то по найденным Aopt и Xopt с помощью формул (6.83) и (6.85) можно рассчитать .opt, 6opt, opt

и Hopt-

В общем случае систему уравнений (6.87), (6.88) и (6.89) следует решать с помощью ЭВМ, приближенное же решение можно получить методом последовательных приближений.

На каждом этапе последовательных приближений решается уравнение (6.87), при фиксированном X, найденном из уравнения (6.88), на предыдущем этапе.

Экстремальные т] и М как функции параметра А можно рассчитать по (6.89), представить их в виде однопараметрического семейства кривых с параметром X. Графики асимптотических значений т)! и Мкоо, отвечающие Х- -foo, представлены на рис. 39.

Для приближенного расчета оптимальных параметров можно воспользоваться следующим .модифицированным условием оптимальности:

k м

Коэффициент утечки вычисляется по формуле

fCyT

где Хо = Л(1 -rl )

12 в. Н. Дроздович