ческим по переменной со, тогда как интеграл в (4.83) не является периодической функцией, необходимо положить Ci = О, тогда

Ро = 0; Po = Po(v). (4.84)

Таким образом, первый член суммы ряда (4.81) должен быть функцией только координаты v.

Второе уравнение получается приравниванием нулю членов первой степени относительно а. В исходном уравнении (4.79) после подстановки разложения (4.81), учитывая (4.84), получим , результате простых выкладок следующее уравнение:

(1 + tga) (НРшУа, + tga(я );Pov = я;.

(4.85)

которое устанавливает связь между двумя[неизвестными функциями Pq (v) и Pi (со, v), причем вторая функция зависит уже от двух координат.

Заметим, что граничные условия (4.80) не позволяют определить вид функции Ро, поэтому используем дополнительное условие, которое получим, интегрируя уравнение Рейнольдса (4.74) по ф в пределах от О до 2л. В результате интегрирования получим для симметричного подшипника с шевронными канавками

{№Р\ йц> - 3 I НЩР йц>=Си (4.86)

о о

Действительно, если функция Я дифференцируема всюду, то в точке = О должно выполняться условие Щ = 0. Тогда, полагая в (4.86) С = О, учитывая симметрию решения и Pg = О, получим в левой части (4.86) нуль.

В случае, когда функция H{t,) непрерывна, но ее производная имеет разрыв в точке С = О, производная может быть доопределена так, чтобы Я = 0. В этом случае снова, в силу симметрии Pj = О при S = 0. Таким образом, для симметричного подшипника уравнение (4.86) запишется в виде

{НР% d(s> - 3\ НЩР?.йс(> = 0, о: о

;S1, (4.87)

Так как достаточно рассмотреть только одну половину симметричного подшипника (О < 1). Подставляя в (4.86) решение Б форме ряда (4.81) и удерживая тодько те члены, которые не зависят от малого параметра а, а также учитывая формулы преобразования (4.78), получим

2я 2я

PoP$v ЯМсо -SPotga ЯЯР, dco = Ci.

(4.88)

. Итак, получены два уравнения (4.85) и (4.88) с двумя неизвестными функциями Ро и Pi, образующие замкнутую систему. U2

Решение этой системы для симметричного шевронного подшипника можно получить в квадратурах, так как при этом Ci = О и в уравнении (4.88) множитель Рц можно сократить. Интегрируя уравнение (4.85) один раз по со, получим

Pi(. = ~ Pov sto а cos а -f . (4.89)

Постоянная интегрирования D может быть найдена из условия периодичности функции Pj (со, v). Интегрируя (4.89) по со в пределах от О до 2п, получим уравнение для определения D

0 = - cos а J - 2лРоу Sin а cos а + D I (4.90)

о

отсюда найдем

D = ibpisin2a--fjcosa.

2я 2rt

f da ,

НЦа)

(4.91)

(4.92)

Подставляя (4.91) в (4.89), получим следующее решение:

С помощью (4.93) исключим Pi (со, v) из уравнения (4.88). Для этого достаточно произвести в нем интегрирование по частям и сделать подстановку. В результате будем иметь

/2л; 2я \

d(o~ Sin* а f Я dco + sina

PoPov

j iXo sing cos a

(4.94)>

Для симметричного подшипника С, = О уравнение (4.94) упрощается и находим

< iXo srn 2а (4 95)

Pov =

Для определения следующего приближения необходимо интегрировать уравнение (4.93), используя интегральное условие (4.88) при С = 0. Поскольку второй член разложения (4.81) содержит множителем малый параметр а предположим, что можно пренебречь остальными членами разложения, по крайней мере, для подшипников с дифференцируемой функцией зазора, при достаточно больших п, это подтверждается результатами анализа формулы (4.64). Из п. 18 следует, что полученное решение справедливо при выполнении следующих условий:

cos а

tga.

(4.96)

Первое условие накладывает ограничение на число сжимаемости и характеризует пределы применимости теории Уиппла. Смысл этого ограничения раскрыт в работе Уилдмена 146, т. 90, № 4]. Второе условие характеризует границы применимости полученного здесь приближенного решения (см. рис. 25, прямую ). Из этого условия следует, что асимптотическое решение может быть применено в качестве приближения к истинному не только в случае большого числа канавок, но и в случае любого конечного их числа, если подшипник достаточно длинный: D/L < л tg а.

Покажем, наконец, что полученное здесь асимптотическое решение согласуется с решением, полученным по методу Уиппла [46, т. 90, № 4].

Уиппл рассматривал математическую модель упорного подшипника со спиральными канавками в виде полосы. Канавки принимались прямоугольной формы. Решение Уиппла применимо и для модели шевронного подшипника.

Учитывая, что решение (4.95), выведенное для радиального подшипника (при нулевом эксцентриситете), справедливо и для полосы, мы можем применить его к вычислению несущей способности полосы (рис. 23).

Рассмотрим случай, когда профиль канавки задан в виде прямоугольной волны и описывается уравнением (4.76), (4.77). Взяв из-за симметрии подшипника только одну его половину (О < 1), запишем функцию зазора в виде:

Я = 1 + л sign (cos (О); (О = лф + р& 5 = 5о > 0. (4.97)

Подставляя (4.97) в (4.95) и вычисляя интегралы, получим

Pov =

+ Хо Sin 2

2(г [(1 4-3Ti2)2cos2a4- (1 - т)2)з sina]

(4.98)

Учитывая граничное условие Po/s=i = 1 и интегрируя (4.98), найдем

(3 + П) Хо sin 2а

0=1 +

2ао [(1 + Srff cos а + (1 - r]f sin а]

(1-0- (4.99)

Согласно (4.44) несущая способность модели упорного подшипника будет равна

npaDL

1 2я dt, f (Ро-1)Ф =

т) (3 4- т)) Хр sin 2а

4a [(l + 3ri2)2cos2a+(l -Ti2)3 sina]

(4.100)

Эта формула тождественна формуле Уиппла, приведенной в работе Уилдмена [46, т. 90, № 4]. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно заменить обозначения на принятые в указанной работе Уилдмена.

Таким же путем можно решить краевые задачи статики в рамках асимптотической теории Уиппла для других случаев в полярных, сферических и других координатах.

ГЛАВА V

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ МАШИН С ПОДШИПНИКАМИ СКОЛЬЖЕНИЯ НА ГАЗОВОЙ СМАЗКЕ

В настоящее время в машинах приборного типа и гироскопах применяются в основном негладкие газодинамические подшипники, которые обеспечивают динамическую устойчивость положения равновесия как при наличии радиальной нагрузки, так и без нее. Наиболее важные теоретические результаты по исследованию устойчивости роторов в газодинамических подшипниках были получены в работах Марша и Пэна [54, т. 86]. В этих работах применялся, по существу, один и тот же метод эквивалентной линеаризации нестационарного уравнения Рейнольдса в окрестности решения краевой задачи статики.

В более поздней работе Каннингема и др. [46, т. 91, № 1] проводилось исследование динамической устойчивости роторов в радиальных подшипниках с шевронными канавками, которые а применяются в гироскопах [46, т. 90, № 4]. В настоящей главе исследование устойчивости роторов в газовых подшипниках производится с помощью обобщенного метода РЯ-линеаризации. На основе решения краевой задачи динамики в 1-м приближении определяются передаточные функции результирующих сил реакции подшипников, которые позволяют производить предварительное качественное исследование частотных характеристик подшипников, с последующим их уточнением во 2-м приближении. 8* 115

21. Динамическая реакция радиального подшипника

при малых поступательных колебаниях в окрестности центрального положения равновесия

Рассмотрим краевую задачу динамики для цилиндрического подшипника при малых поступательных колебаниях шипа в окрестности центрального положения равновесия. Предположим, что несущая поверхность подшипника имеет периодический профиль. Рассмотрим цилиндрический шип, вращающийся с постоянной угловой скоростью й и предположим, что ось шипа совершает малые поступательные колебания, оставаясь все время параллельной оси подшипника. Положение шипа относительно подшипника определим вектором ei = + ie (см. п. 7).

Для определения мгновенного распределения сил давления, действующих на шип со стороны потока смазки, следует решить основное уравнение (3.20) при граничных условиях Pj=±i==0; Р ф = Рф+2я, но в отличие от статической, задачи, рассмотренной в гл. IV, необходимо учитывать нестационарный член d{HP)/dx. Кроме того, в силу переменности вектора смещения ei = 4- ie функция зазора зависит не только от координат ф, , но и от времени т. Линеаризируя уравнение (3.20) по схеме, изложенной в предыдущей главе, получим в первом приближении согласно (3.48) и (3.21) с учетом граничных условий (4.2):

(5.1) (5.2) (5.3)

£=±1

4>+2л i

Н = 1 - е (т) cos ф - (т) sin ф -f tih (ф, Q.

К этим уравнениям необходимо еще добавить начальные условия, которые характеризуют распределение давления в момент времени т = 0. Искомое решение краевой задачи (5.1)-(5.3) будет представляться некоторой функцией трех аргументов: Ф, L и т.

Предположим, что шип начинает совершать малые колебания около стационарного положения, в котором он находится неограниченно долго.

Тогда начальное распределение давления будет соответствовать исходному стационарному и в последующие моменты времени будет мало отличаться от этого стационарного распределения. Малые колебания давления в смазочном слое можно описать его вариацией АР. Обозначая вариации функций ¥ и Я через АЧ и АЯ и варьируя уравнения (5.1)-(5.3), получим уравнения краевой задачи в вариациях:

AWl + Оо AWli- хо ay; - At = АЯфф + о? АЯ;

А¥:£=±, ==АЯ!£=±,; А¥!ф = А¥ф+2 ; (5.4)

АЯ = - АесоВф-Де.81Пф.

(5.6)

Соотвегствующие стационарные значения давления Р, функций W и Я будем обозначать через Ро, и Яо- Введем теперь вместо функции W другую функцию Y с помощью подстановки

W = H + Y, (5.5)

тогда уравнения (5.4) упростятся:

AF; + ао А%- хо af; - af = Хо АЯ; + АЯ; af = 0; af 1ф = af ф+2я; АЯ = - Ае cos ф - Ае sin ф.

Поступая так же, как и при решении соответствующей задачи статики (см. п. 15), можно вместо краевой задачи (5, 6) рассмотреть соответствующую ей задачу в комплексной форме:

ЛОГфф + о1 АЖш- хо АЖ\~АЖ = хо А; + А&€;

AJifj=±i=0; AJif ф = А!Гф+2я; (5-7)

АЖ = - Aeie-i; Ае = Ае -f i Ае, )

где АЖ и АЖ связаны с af и АЯ соотношениями:

af=Re{AJif}; АЯ = Ке{А}. (5.8)

Искомая вариация давления

(5.9)

Предполагая, что малые колебания начинаются из центрального равновесного положения, можно написать начальные условия в виде

АР ,=о = AF 1=0 = АЖ t=o = Ае, t=o = 0. (5. Ю)

Преобразуем далее все переменные, входящие в уравнения (5.7) - (5.9), по Лапласу.

Для этого введем следующие обозначения:

+ 00

АР = I APe-db\ АЖ = J . АЖе- йх\ ДЯ = f АНе-Чг, АШ = ) АШег- dx;

А El

+ 00

Aeie- dT и т. д.