ции, пренебрегают также массовыми силами, влияние которых оказывается ничтожным и в большинстве других задач гидроаэродинамики. Таким образом, теория смазки имеет дело с течениями, в которых основную роль играют поверхностные силы: давления и внутреннего трения (вязкости).

Из этих предварительных замечаний видно, что сформулированные выше допущения образуют некоторую систему, в которой каждое из них занимает определенное место. Проведем теперь более подробный анализ этих допущений, их важнейших следствий, условий применимости к гидродинамическим и газовым подшипникам, возможных обобщений, а также взаимосвязи между отдельными допущениями.

Первое допущение лимитируется величиной числа Кнудсена, определяемого (применительно к задачам смазки) как Кп = =/р/Ло, где /р - средняя длина свободного пробега молекулы жидкости или газа, - характерная толщина зазора; иногда под числом Кнудсена понимают обратную величину. Строго говоря, среда может считаться сплошной при Кп -> О, практически же влияние дискретности среды становится ощутимым лишь при Кп О (10). Если в гидродинамических подшипниках последнее условие всегда выполняется, то в газовых подшипниках длина свободного пробега может оказаться соизмеримой с толщиной зазора. Действительно, в настоящее время уже используются газовые опоры со средней толщиной зазора в 1-2 мкм, а минимальная толщина может измеряться десятыми Долями микрометра. Для сравнения заметим, что средняя длина свободного пробега молекулы воздуха, который чаще всего используется в качестве газовой смазки, при обычных атмосферных условиях приблизительно равна 0,06-0,07 мкм, а на значительной высоте над поверхностью земли-еще больше. Тем не менее в диапазоне О (10-2) s=i Кп*: О (10), который обычно соответствует приведенным выше размерам, допустимо пользоваться обычными дифференциальными уравнениями гидроаэродинамики сплошной среды, если видоизменить граничные условия на омываемых газом твердых поверхностях, учтя в этих условиях эффект проскальзывания газа вдоль поверхности, не наблюдающийся в сплошных средах [59]. Именно такой подход позволил Бургдорферу [60] применить уравнение Рейнольдса (см. п. 10), которое описывает распределение давления в смазочном слое газового подшипника (его вид зависит от упомянутых граничных условий), для случая, когда подшипник смазывается слабо разреженным газом, введя в это уравнение поправочные коэффициенты, зависящие от числа Кнудсена и не меняющие общей структуры уравнения.

Заметим, что при более высокой степени разреженности газа [О (10-) Кп < О (1)] требуют уточнения не только граничные условия, но й основные уравнения гидроаэродинамики, а при исследовании течений сильно разреженных газов эти уравнения вообще не могут быть положены в основу анализа, и приходится 64

использовать кинетическую теорию газов [59]. Если учесть, что в реальных подшипниках х = hjL < 1, где L - характерный размер подшипника (на практике х - 10-- 10), то из уравнения сплошности следует, что поперечные скорости у в жидком смазочном слое, а также в стационарном газовом слое весьма малы по сравнению с продольными скоростями v, а именно vJVg ~ о (х). Тогда, используя уравнения Навье-Стокса, удается показать, что с точностью до величин порядка О(х) изменением давления поперек слоя можно пренебречь, т. е. принять dpidn = О (где р - давление в слое; п - координата, отсчитываемая по нормали к его поверхности). В нестационарных задачах газовой смазки этот результат не всегда допускает формальное обоснование, и тогда его принимают как дополнительную гипотезу.

Важно отметить, что условие х< 1, несмотря на его кажущуюся очевидность, может быть безоговорочно принято лишь при достаточно плавном изменении толщины смазочного сло5 по координатам. Если же на смазываемой поверхности имеются участки, где толщина слоя резко меняется, то для каждого такого участка следует вместо параметра х ввести локальный параметр Xf = hjLi, принимая за характерный продольный размер протяженность i-ro участка в направлении наиболее быстрого изменения толщины слоя. Величина х может быть сколь угодно большой, поэтому на указанных участках давление может ощутимо меняться поперек смазочного слоя. Отсюда, в частности, следует, что линии скачкообразного изменения толщины смазочного слоя следует рассматривать как особые линии в области интегрирования уравнения Рейнольдса, вблизи которых обычные приближения теории смазки несправедливы.

Второе допущение, сформулированное в начале параграфа, не опровергает того факта, что динамическая вязкость реальных смазок может зависеть от давления. Однако если такая зависимость имеет место и подлежит учету, то использование обычной гидрогазодинамической теории смазки является некорректным. В этом случае теория смазки должна опираться не на гидроаэродинамику, а на реологию, изучающую течения неньютоновских жидкостей, к числу которых относятся и смазки с вязкостью, зависящей от давления. Проблема разработки реологической теории смазки (Аппелдорн [46, т. 90, № 3]) актуальна в первую очередь для жидкостных подшипников, поскольку при тех умеренных давлениях в смазочном слое, которые характерны для газовых опор, вязкость газов практически не зависит от давления [25].

Третье допущение (о ламинарности потока смазки) сейчас уже не является общепринятым. К середине 60-х годов были разработаны основы полуэмпирической теории турбулентной смазки [63], которая получила дальнейшее развитие в трудах симпозиума Гидродинамическая смазка: турбулентность и родственные явления , состоявшегося в США в 1973 г. [46, т. 96, № 1 ].

Принято считать, что турбулентный т)ежим начинает развиваться при условии, что число Рейнольдса Re, для смазочного зазора равное pUho/\i (где ц, р, U, ho - характерные значения динамической вязкости, плотности, продольной скорости и толщины зазора соответственно), превышает некоторое критическое значение Re* ~0 (10). Основной предпосылкой возникновения турбулентности является нарушение гидродинамической устойчивости ламинарного потока [311. Условие перехода от ламинарного режима к турбулентному в смазочном слое подшипника можно записатьв виде

Re = xRe =

> xRe* = Ret,

(3.1)

где RCc - смазочное число Рейнольдса, употребление которого в качестве характерного физического критерия подобия потоков жидкости и газа в тонких зазорах (к < 1) вместо обычного числа Рейнольдса Re является более оправданным [51]. Критическое значение смазочного числа Рейнольдса RCc есть величина порядка единицы. Поскольку число Рейнольдса можно интерпретировать как отношение сил инерции потока к силам вязкости [31 ], то из условия (3.1) вытекает, что турбулентный поток не может быть безынерционным. Поэтому следует подвергнуть серьезному критическому анализу возможность применения к турбулентным потокам наиболее характерного физического допущения теории смазки о пренебрежимой малости влияния инерционных эффектов в смазочном слое (пятое допущение). Этот вопрос рассмотрен, в частности, в трудах вышеупомянутого симпозиума [46, т. 96, № 1 ]. Тем не менее инерционными эффектами чаще всего пренебрегают и в задачах турбулентной смазки.

Для газовых подшипников турбулентные режимы течения смазки представляются гораздо менее характерными, чем для гидродинамических подшипников. Есть основания сомневаться в том, что в газовом слое толщиной в несколько микрометров вообще может развиться турбулентный режим, так как нижняя граница масштабов турбулентности (определяемых длиной пути турбулентного перемешивания [31]), которые могут иметь место в газовых потоках, вероятно, превышает толщину слоя. Во всяком случае, условия нарушения лминарности газового потока в тонком зазоре нельзя связывать только с величиной числа Рейнольдса, как это-обычно делается; существенную роль 1десь, по-видимому, играет число Кнудсена.

Четвертое допущение (об изотермичности теплового режима в подшипниках) получило широкое распространение в силу того, что вопросы нагрева подшипников, особенно газовых, в которых перепады температур в смазочном слое обычно не превышают нескольких десятков: градусов [71 ], во многих случаях не представляют самостоятельного интереса. Гипотеза изотермичности намного упрощающая анализ, оказывается, как правило, прием 66

лемой в teic задачах смазки, коТорЫё не связаны с исследованием тепловых процессов,/ обеспечивая удовлетворительную точность расчета сил и моментов, создаваемых смазочным слоем. Следует, правда, оговорить, что для тех опор, смазываемые поверхности которых подвержены значительным тепловым деформациям, на справедлизость предыдущего вывода можно рассчитывать лишь при условии, что эти деформации учтены в уравнении профиля толщины смазочного слоя.

Важным следствием гипотезы изотермичности является постоянство динамического коэффициента вязкости смазки, который для данного смазочного вещества, рассматриваемого, согласно второму допущению, как ньютоновская среда, может зависеть только от температуры. Это следствие иногда рассматривают как самостоятельное допущение, распространяя его на случаи неизотермических режимов течения смазки. При таком подходе изотермическое уравнение Рейнольдса, описывающее распределение давления в смазочном слое (см. следующий параграф), может быть легко распространено на любой баротропный режим, частными случаями которого являются адиабатический и политропический режимы [25].

Имеется значительное число работ по гидродинамической и газовой смазке, в которых тепловой режим не предполагается заранее заданным, вязкость рассматривается как функция температуры, а искомые распределения давлений и температур рассчитываются путем совместного интегрирования уравнения Рейнольдса и уравнения теплового баланса. Однако работы, где неизотермическая задача смазки поставлена и решена вполне корректно, немногочисленны, среди них следует, в частности, отметить работу Л. Г. Степанянца [51 ].

Исследованию тепловых режимов гидродинамических подшипников с турбулентным смазочным слоем посвящены работы Хюб-нера, Сафара. и Сери [46, т. 96, № 1].

Пятое допущение, которое постулирует возможность пренебречь влиянием инерционных эффектов в смазочном слое на характеристики подшипников, было бы неправильно связывать только с малостью числа Рейнольдса (пропорционального, как уже упоминалось, величине сил инерции потока), хотя условие RCcCl, выполняющееся во многих реальных подшипниках, само по себе является достаточным основанием для проведения анализа без учета сил инерции смазки. Можно, однако, привести примеры вязких ламинарных потоков, в которых силы инерции тождественно обращаются в нуль при произвольных значениях числа Рейнольдса (течение Куэтта, течение Пуазейля [50]). Поэтому не должен вызывать удивления общий вывод, полученный многими исследователями с помощьк> различных методов [19; 25; 64], что при стационарных ламинарных режимах течения с дозвуковой скоростью влиянием инерционных эффектов внутри смазочного слоя на характеристики гидродинамических и газовых подшип-5* 67

ников можно пренебречь, по крайней мере, ёплоТь До значений Re 1, сравнительно редко достигаемых на практике. Это влияние наименее ощутимо в опорах с гладкой поверхностью; вблизи ступенек или изломов реальныедавления в смазочном слое могут заметно отличаться от давлений, определенных без учета сил инерции смазки, но все же эти отличия имеют, как правило, локальный характер и не вносят значительных изменений в основные интегральные характеристики подшипника, например в несущую способность.

В сверхзвуковых газовых потоках смазки инерционные эффекты связаны с явлениями, до некоторой степени аналогичными стоячим ударным волнам - скачкам уплотнения [31 ], которые оказывают вредное влияние на работу подшипника, снижая его

несущую способность. Возникновение сверхзвуковых зон характерно, в первую очередь, для некоторых разновидностей опор с внешним наддувом (Харуо Мори [53, т. 83, № 2 ]).

До сих пор речь шла о стационарных задачах смазки. К числу первых исследований, посвященных интегрированию нестационарных уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости в смазочном слое с учетом сил инерции жидкости, относится работа А. Т. Полецкого [42]. Аналогичная нестационарная задача для газового слоя решалась Г. А. Завьяловым, А. И. Сноповым и др. [4; 45, ч. 1; 47], причем в последней работе, наряду с инерционными, учтены и тепловые эффекты, а в других работах упомянутых авторов показано стабилизирующее влияние сил инерции емазки на динамическую устойчивость слабонагру-женных газовых подшипников. Однако в целом вопрос о степени к характере влияния инерционных эффектов в смазочном слое при нестационарных режимах работы подшипников мало изучен, и остается неясным, в каких случаях удержание инерционных членов в нестационарных уравнениях Навье-Стокса, применяемых к тонким зазорам, является оправданным. Можно лишь

. утверждать, что инерционные эффекты в нестационарных задачах смазки играют тем меньшую роль, чем меньше число Рейнольдса, а также упомянутое в п. 2 число Струхала 5 = -щг

(где Т - характерный масштаб времени). Поэтому, хотя применение безынерционной модели смазочного слоя стало обычным как в стационарных, так и в нестационарных задачах смазки, поскольку такая модель в большинстве случаев хорошо предсказывает действительное поведение подшипника, результаты теоретического анализа нестационарных режимов работы подшипника, полученные на основании классической теории смазки, следует все же подвергать особенно тщательной экспериментальной проверке. Естественно ожидать, что в турбулентном смазочном слое инерционные эффекты более ощутимы, чем в ламинарном, а турбулентные режимы, как уже упоминалось, не могут существовать при числах Рейнольдса, которые можно было бы считать 68

пренебрежимо малыми. Проблема учета сиЛ инерции в задачах турбулентной смазки затронута в работах Константинеску, Смолли и др. [46, т. 96, № 1 ].

Несмотря на то что рассмотренные здесь допущения гидрогазодинамической теории смазки не являются бесспорными и подлежат дальнейшему критическому анализу, их совокупность оказывается разумным приближением к действительности в большинстве задач гидродинамической и газовой смазки, выдвигаемых современной инженерной практикой.

10. Основное уравнение газовой смазки в сферических координатах

Рассмотрим газодинамическую опору, несущие поверхности которой имеют сферическую или почти сферическую форму. Будем считать, что малые отклонения от сферичности обусловлены искусственным профилем, например, микроканавками той или иной конфигурации на поверхности подшипника или шипа. Они предназначены для создания эффекта смазочного клина при соосном положении шипа и подшипника, так как без этого невозможно обеспечить осевую жесткость смазочного слоя газодинамической опоры и устойчивость центрального положения шипа. Обычно сферический подшипник имеет несущую поверхность в виде сферического пояса, который может быть ограничен, например, отверстиями для выхода вала.

На рис. 14 показаны три системы координат, имеющие фиксированную ориентацию: две декартовые OXYZ, O-X-Y-Z-,

соответствующие оси которых параллельны (первая из них связана

сцентромшипа, вторая-с центром подшипника, OiO = е -вектор смещения), и сферическая система г. О, ф. Первые две предназначены для описания динамики подвижных элементов подшипникового узла, а последняя - для описания движения смазочной среды в тонком слое между несущими поверхностями сферической опоры.

Согласно изотермической теории газовой смазки мгновенное состояние смазочной среды в данной точке можно определить

Рис. 14