Численных методов интегрирований уравнений в частных произ-родных к решению задач газовой смазки, в том числе и нестационарных. Современное состояние этого вопроса отражено в обзорной статье Кастелли и Пирвикса[46,т. 90, № 4] и в работе Коул-мена [46, т. 94, № 4]. Иногда оказывается целесообразным искать стационарные численные решения как предел последовательности соответствующих нестационарных решений, используя так называемый метод установления [493, как это сделано, например, в работе [78] применительно к расчету прямоугольного подпятника.

На современном этапе развития вычислительной техники широкое внедрение численных методов интегрирования уравнения Рейнольдса в практику расчета газовых опор оказывается экономически оправданным в тех случаях, когда речь идет о расчете статических характеристик опор с достаточно простой геометрией смазочного слоя. В других случаях разумнее использовать в качестве основы массовых расчетов приближенные аналитические методы, прибегая к численным методам для получения минимально необходимого объема эталонных результатов, по которым можно было бы судить о точности аналитических методов. Плодотворным может быть использование смешанных аналитико-численных методов, примером которого является работа [77 ], где рассчитывается сферический газовый подшипник с искусственным профилем.

Для расчета опор со сложной геометрией смазочного слоя перспективными представляются так называемые дивергентные (однородные) конечно-разностные схемы [49], а также метод конечных элементов , изложенный в работе Букера и Хюбнера [46, т. 94, № 4], который следует рассматривать как особую разновидность численных методов.

Среди газовых подшипников сложной микрогеометрии, особенно трудно поддающихся аэродинамическому расчету, наиболее широкое практическое применение нашли подшипники со спиральными канавками. Этот тип искусственного профиля, который фактически создает смазочный клин как в направлении скольжения, гак ив направлении оси канавки, оказался одним из самых эф-фективных, поэтому методы расчета подшипников со спиральными канавками заслуживают особого рассмотрения. В инженерной практике получил распространение метод узких канавок , разработанный в его первоначальном виде Уипплом [56; 731 применительно к случаю несжимаемой смазки. Этот метод позволяет заменить уравнение Рейнольдса со сложной структурой коэффициентов, отражающих геометрию смазочного слоя, гораздо более простым приближенным уравнением, из которого можно найти распределение давления, сглаженное в направлении скольжения движущейся поверхности. В работах Вора и Чау, Ма-ланоски и Пэна [54, т. 87, № 31 этот метод формально распространен на случай, когда смазочное вещество рассматривается как сжимаемая среда. Тем не менее оказалось, что его при-28

Мененйе к исслеЛованию Газовык йодшипников приводит к некоторым качественно неверным результатам, в частности, определенная таким путем несущая способность не имеет характерного для газодинамических подшипников конечного предела при неограниченном увеличении параметра сжимаемости оо).

На недостаток теории узких канавок, обусловленный тем, что ее основные допущения в скрытой форме предполагают влияние сжимаемости смазки незначительным, впервые указали Уилдмен [46, т. 90, № 11, Константинеску и Кастелли [46, т. 91, № П. Однако метод узких канавок обеспечивает удовлетворительную точность расчета газовых опор различной конфигурации, профилированных спиральными канавками, если их число достаточно велико, а значение параметра х является умеренным в том смысле, что влиянием сжимаемости на аэродинамические характеристики подшипника действительно можно пренебречь. Такая возможность, впервые отмеченная С. А. Шейнбергом [57], реализуется для диапазона, в котором характер изменения несущей способности подшипника по параметру % близок к линейному. Для практического применения метода узких канавок важно то, что у газодинамических опор со спиральными канавками этот диапазон может быть достаточно широким, охватывая область изменения параметра %, которая соответствует реальным эксплуатационным условиям.

Модификации метода узких канавок, предложенные А. В. Емельяновым [12] и др., несколько расширяют область его применения к опорам с газовой смазкой, однако они не устраняют неограниченного роста погрешности расчета с увеличением параметра сжимаемости.

Применение аналитических методов интегрирования уравнения Рейнольдса, не опирающихся на теорию узких канавок, к расчету опор со спиральными канавками до сих пор не было особенно успешным. Теоретическая модель опоры в виде бесконечной полосы с шевронными канавками малой относительной глубины и синусоидального профиля для произвольных значений параметра сжимаемости была рассчитана в работе Уилдмена [46, т. 90, № ] с помощью метода возмущений. Метод разложения в ряд по собственным функциям задачи был использован Мюйдерманом [73], который интегрировал уравнение Рейнольдса применительно к кольцевому подпятнику со спиральными канавками без. учета сжимаемости смазки. Решение соответствующего линейного уравнения представлялось в форме, справедливой в пределах тех участков смазочного слоя, где его толщина не меняется по координатам, а на линиях скачкообразного изменения толщины слоя задавались дополнительные условия сращивания. В целом такой подход к расчету опор со спиральными канавками оказался громоздким и малоэффективным. В работе Фостера, Кароу и Бенсона [46, т. 91, № 1] рассчитан радиальный газовый подшипник с шевронными канавками на основе метода линеаризации уравнения Рейнольдса, предложенного Османом [53, т. 83, № 2], решение

линейрйзованноо уравнений найдено в форме ГарМоничесКоГО полинома. Методика, использованная в работе Фостера и др., представляет некоторый практический интерес, поскольку она не накладывает ограничений на параметр сжимаемости, на форму сечения канавок, их относительную глубину и другие геометрические параметры; удалось ее применить к исследованию как стационарных, так и нестационарных режимов работы подшипника. Однако расчеты по этой методике весьма трудоемки, а точность результатов может оказаться недостаточной, если распределение толщины смазочного слоя описывается негладкой функцией.

Численные методы интегрирования уравнения Рейнольдса пока не получили распространения в практике расчета опор со спиральными канавками, вместе с тем подобные методы довольно часто применяются к интегрированию приближенных уравнений теории узких канавок, как это сделано в работе Смолли 146, т. 94, № 4]. Для условной модели опоры в виде полосы с шевронными канавками уравнение Рейнольдса численно проинтегрировано Константинеску и Кастелли [46, т. 91, № 1], причем приведенные результаты относятся к канавкам малой относительной глубины. Некоторые результаты численного анализа реальных сферических газовых подшипников со спиральными канавками приведены в работе И. Е. Сипенкова и Б. С. Григорьева [45, ч. 1 ]. В качестве своебразного примера сочетания теории узких канавок с численным интегрированием линеаризованного уравнения Рейнольдса в области, примыкающей к границе смазочного слоя, можно указать на работу Гупта и др. [68].

Важнейшим условием надежности технических устройств с газовыми подшипниками является их динамическая устойчивость, анализ которой должен опираться на систему уравнений, состоящую из нестационарного уравнения Рейнольдса и уравнений динамики подвижных элементов опоры. Уравнение Рейнольдса для подшипников с сжимаемой смазкой, наряду с нелинейностью, обладает еще одной особенностью; при описании процессов, зависящих от времени, оно оказывается существенно нестационарным, тогда как аналогичное уравнение для подшипника с несжимаемой смазкой будет квазистационарно (время содержится в нем лишь как параметр, а не как переменная интегрирования). Квазистационарный характер уравнения Рейнольдса для гидродинамических подшипников позволяет расчленить любую задачу, связанную с исследованием их динамики, на два последовательных этапа: сначала отдельно интегрируется уравнение Рейнольдса, решение которого допускает представление в форме, справедливой длй произвольных движений элементов подшипника под действием внешних нагрузок и гидродинамических сил, а затем исследуются уравнения динамики, описывающие действительные движения этих элементов, с учетом выражений для реакций смазочного слоя, полученных на основании ранее найденного решения уравнения Рейнольдса.

Только что описанный способ поэтапного интегрирования комбинированных задач гидродинамической теории смазки, в которых заранее неизвестны не только давления в смазочном слое, но и профиль толщины слоя, неприемлем в качестве универсального подхода к решению аналогичных задач газовой смазки. В этом случае нестационарность уравнения Рейнольдса является причиной того, что оно, вообще говоря, неотделимо от уравнений динамики. Тем не менее известные в настоящее время приближенные методы исследования динамической устойчивости опор с газовой смазкой, как правило, приводят к тому, что интегрирование аэродинамических уравнений оказывается автономной задачей.

Простейший подход к анализу устойчивости газовых опор, особенно широко распространенный до середины 60-х годов, основан на замене нестационарного уравнения Рейнольдса его приближенным квазистационарным аналогом, тем самым не учитывается предыстория процессов, происходящих в смазочном слое в данный момент времени. В теории подобия аэродинамических явлений отсутствие такого учета может быть допустимо при малых значениях числа Струхала [30; 31] - основного параметра нестационарных процессов в жидкостях и газах, обратно пропорционального характерному масштабу времени (например, периоду колебаний). Нарушение динамической устойчивости равновесия газовой опоры часто сопровождается возникновением автоколебательных режимов, типичные примеры которых рассмотрены в п. 1 (асинхронная прецессия вала - полускоростной вихрь - и пневмомолот в опорах с наддувом [41; 58]). Этим режимам обычно соответствуют умеренные значения числа Струхала, так, в режиме полускоростного вихря это число близко к 0,5. Именно в силу последнего обстоятельства квазистационарный подход к анализу устойчивости пригоден для инженерных оценок как самоподдерживающихся газовых опор, (см., например, работы Рентцеписа и Стернлихта [53, т. 84, №4], Османа [53, т. 85, № 41), так и опор с наддувом, к которым он был впервые применен еще в 1958 г. в работе Лихта, Фуллера и Стернлихта [53, т. 80, №2]. Такой подход в ряде случаев позволяет выявить основные факторы,-способствующие нарушению устойчивости подшипника и хотя бы грубо оценить диапазон изменения параметров подшипника, в котором можно ожидать потери устойчивости. Интересно отметить, что явление полускоростного вихря, характерное для опор с газовой смазкой, впервые было теоретически предсказано для жидкостных радиальных подшипников [611, хотя уравнение Рейнольдса в этом случае само по себе квазистационарно. Полускоростной вихрь в гидродинамических подшипниках не наблюдается лишь потому, что в них практически не выполняется условие отсутствия разрывов смазочного слоя, на которое опирается теоретический анализ в работе [61 ]. В жидком слое образуется кавитационная зона, которая снижает несущую способность подшипника, но зато играет стабилизирующую роль.

к середине 60-х годов наметился переход к новому этапу в исследовании вопросов динамической устойчивости опор с газовой смазкой; стало ясно, что, несмотря на некоторые достоинства квазистационарных моделей смазочного слоя, они не могут рассматриваться как надёжная основа анализа устойчивости газовых опор. Подход к исследованию устойчивости гидродинамических и газовых опор должен быть различным. Первой из опубликованных работ, в которых строгая постановка задачи динамической устойчивости газового подшипника доведена до важных конкретных результатов, следует считать работу Кастелли и Элрода [54, т. 87, № 1 ]. Использованный ими для анализа устойчивости гладкой радиальной опоры метод переходных режимов позволяет судить об устойчивости непосредственно по виду траектории центра вала (или в общем случае по изменению положения подвижных . элементов опоры со временем), определяемому прямым численным интегрированием системы уравнений, состоящей из нестационарного уравнения Рейнольдса и уравнений динамики. Интегрирование выполняется на большом временном интервале при произвольном начальном положении вала (или подвижных элементов). Этот метод, примененный в дальнейшем и к радиальному подшипнику с самоустанавливающимися вкладышами [62], является наиболее точным и универсальным методом исследования динамического поведения газовых опор и дает исчерпывающую картину поведения опоры произвольной геометрии для любого конкретного набора значений параметров, входящих в систему уравнений н граничные условия рассматриваемой задачи. Однако применение такого метода к определению границ области устойчивости в многомерном пространстве параметров опоры связано с весьма большими затратами времени на ЭВЦМ, особенно если уравнение Рейнольдса содержит три независимые переменные интегрирования, что обычно имеет место в нестационарных задачах газовой смазки реальных опор. В упомянутой работе Кастелли и Элрода, а также в работе [62] исследовалась идеализированная модель радиального подшипника - опора бесконечного удлинения. Это позволило исключить из уравнения Рейнольдса одну переменную интегрирования -осевую координату. Примером применения метода переходных режимов к опорам конечного удлинения является работа Шапиро [46, т. 91, № 1], где рассмотрен радиальный подшипник с внешним наддувом.

Недостаточная надежность квазистационарных моделей смазочного слоя в задачах динамической устойчивости газовых опор и чрезмерная трудоемкость метода переходных режимов послужили стимулами к созданию целой группы приближённых методов анализа устойчивости, гораздо более практичных, чем метод переходных режимов, и в то же время достаточно строго учитывающих существенно нестационарный характер процессов в смазочном слое газовой опоры при динамических режимах ее работы. Эта группа методов связана с расчетом динамических реакций 32

смазочного слоя на специальные виды возмущений: а) мгновенное случайное, б) скачкообразное, в) периодическое. Важным достоинством такого подхода является возможность выделить уравнение Рейнольдса из исходной системы уравнений и проинтегрировать его независимо от уравнений динамики подвижных элементов не прибегая к каким-либо квазйстационарным приемам, т. е. сохраняя время в уравнении Рейнольдса как переменную интегрирования. Обычно считается, qfo. перемещение подвижного элемента опоры под действием возмущениятого или иного вида происходит в малой окрестности предполагаемого положения равновесия. Это позволяет, во-первых, значительно упростить интегрирование уравнения Рейнольдса, представив его решение в виде разложения по малому параметру, за который можно принять, например, максимальную величину относительного отклонения подвижного элемента от положения равновесия. Первый член такого разложения представляет собой стационарное решение уравнения Рейнольдса, используемое также для определения последующих членов, описываемых рекуррентной системой линейных нестационарных уравнений в частных производных, с коэффициентами, которые зависят от стационарного решения. Если в упомянутом разложении пренебречь членами второго и более высоких порядков малости, то интегрирование нелинейного нестационарного уравнения Рейнольдса будет состоять из двух последовательных этапов: сначала интегрируется нелинейное стационарное уравнение, а затем линейное нестационарное уравнение. Во-вторых, в малой окрестности положения равновесия уравнения динамики подвижных элементов опоры допускают линеаризацию. Если коэффициенты линеаризованных уравнений постоянны, то анализ устойчивости сводится к исследованию расположения корней соответствующих характеристических уравнений на комплексной плоскости, для чего часто используются известные критерии Рауса-Гурвица и Михайлова-Найквиста [36; 1].

Таковы общие черты приближенных методов анализа устойчивости, основанных на определении реакций газовой опоры на специальные возмущения. Остановимся на некоторых особенностях этих методов, обусловленных выбором вида возмущений. Метод исследования устойчивости механической системы по ее реакции на мгновенное случайное бесконечно малое возмущениесостояния равновесия восходит к классическим работам основоположника общей теории устойчивости движения А. М. Ляпунова [35] и иногда называется первым методом Ляпунова. Система устойчива, если после устранения источника возмущения ее отклонение от равновесного состояния неограниченно уменьшается со временем. А. М. Ляпунов установил условия, при которых в уравнениях движения системы в малой окрестности равновесного состояния можно пренебрегать величинами второго и высших порядков малости. В качестве типичного примера применения этого классического метода исследования устойчивости к газовым подшипни-

3 вн. Дроздович 33