кам можно упомянуть работу Кастелли и Элрода [54, т. 87, № 1 ], где использован также метод переходных режимов.

Для анализа устойчивости систем с газовыми подшипниками, имеющих большое число степеней свободы, эффективным оказался так называемый метод ступенчатого воздействия, разработанный американскими исследователями Элродом, Мак Кейбом, Чу [65; 46, т. 90, № 1; 46, т. 91, № 3], -Шапиро и Колшером [46, т. 92, № 3]. Согласно этому методу произвольное возмущение, описываемое непрерывной функцией времени, рассматривается как суперпозиция большого числа малых скачкообразных (ступенчатых) возмущений. Последовательно сообщая рассматриваемой механической системе мгновенные малые отклонения от предполагаемого положения равновесия в одной из степеней свободы и удерживая систему в новом положении, из уравнений Рейнольдса можно определить матрицу удельных реакций смазочного слоя на эти отклонения, которая затем может быть многократно использована при исследовании динамического поведения системы. Эти удельные реакции представлякя функции времени, стремящиеся к конечному пределу с увеличением аргумента, их удобно аппроксимировать разложениями по полиномам Лагерра. Связь аэродинамических сил и моментов с произвольными перемещениями подвижных элементов и с удельными реакциями на скачкообразное возмущение осуществляется через посредство интеграла Дюамеля. Описанная выше процедура метода ступенчатого воздействия относится только к определению аэродинамических сил и моментов входящих в уравнения динамики, и не накладывает ограничений на выбор метода исследования этих уравнений. Непосредственный анализ устойчивости можно проводить, в частности, на основании численного интегрирования системы уравнений динамики, как это делается в работе [65], или на основании характеристического уравнения линеаризованной системы [46, т. 92, № 3].

Методы исследования устойчивости равновесия газовых опор по реакции смазочного слоя на периодическое возмущение (идея такого подхода к анализу устойчивости опор с газовой смазкой, по-видимому, впервые высказана С. А. Шейнбергом) получили-развитие в работах как зарубежных (Пэн [74], Марш [72; 41], Флеминг и др. [46, т. 92, № 2 ]), так и советских авторов (Г. А. -Поспелов [44] и др.). Суть этих методов состоит в следующем. Задается некоторая траектория периодического движения оси ротора или другого подвижного элемента опоры в малой окрестности предполагаемого положения равновесия, и соответствующее линеаризованное уравнение Рейнольдса с периодическими коэффициентами интегрируется для некоторого спектра частот. Затем определяются частота, при которой заданное движение динамически возможно, и условия его затухания, рассматриваемые как условия устойчивости равновесия. Например, если задано равномерное вращение центра ротора по круговой траектории вокруг концентричного положения, то его частота определяется из условия,

что аэродинамическая сила в каждый момент времени Направлена вдоль вращающейся линии центров, а устойчивость ненагружен-ного ротора обеспечивается в том случае, когда эта сила направлена противоположно центробежной силе, обусловленной прецес-сирующей массой ротора, и превышает ее по величине. Такой подход к анализу устойчивости, особенно привлекательный своей простотой в случае ненагруженных опор, которые наиболее склонны к потере устойчивости, используется в настоящей монографии, наряду с мегодами исследования устойчивости в малом , опирающимися на классическую теорию А. М. Ляпунова [35].

Особое место среди работ по устойчивости подшипников с газовой смазкой занимает исследование Гореца [46, т. 95, № 2], которое представляет пример применения к газовым опорам второго метода А. М.. Ляпунова (называемого прямым или качественным методом Ляпунова [35; 36]). Этот фундаментальный метод анализа устойчивости механических систем, основанный на исследовании некоторых свойств так называемых функций Ляпунова, не получил распространения в задачах газовой смазки ввиду значительных трудностей, связанных с построением таких функций, и отсутствия общих правил, которые определяли бы технику их построения.

Вышеупомянутые работы по динамике газовых опор посвящены, главным образом, определению условий динамической устойчивости равновесия. Вопрос о том, как ведут себя опоры при нарушении такой устойчивости и могут ли они в этом случае оставаться работоспособными, изучен в гораздо меньшей степени. Между тем нарушение устойчивости равновесия газовых опор иногда проявляется в возникновении автоколебаний ограниченной амплитуды, при которой отсутствует контакт между поверхностями смазочйого слоя, хотя такие режимы более характерны для опор с внешним наддувом. Теоретическое исследование автоколебательных режимов в таких опорах проведено Р. 3. Алиевым [45, ч. 1 ]. Нарушение устойчивости равновесия газодинамических опор скольжения (в радиальных подшипниках оно проявляется в форме полускоростного вихря) обычно приводит к аварийным последствиям. Опыт показывает, что лишь в редких случаях, которые пока не удается теоретически предсказывать, ротор в режиме полускоростного вихря может длительное время совершать прецессионные колебания, не сопровождающиеся сухим трением (Каннингэм и др. [46, т. 91, № 1]). Теоретический анализ автоколебаний затрудняется тем, что к нему неприменимы линейные математические модели, поскольку автоколебания в динамических системах сами по себе обусловлены нелинейностью последних [1; 48].

Мало исследованной остается весьма важная для практики проблема динамического поведения опор с газовой смазкой в условиях вынужденных колебаний и, в частности, вопрос об устойчивости движений элементов опоры, вызываемых периодической

ЕЫНуЖдающей силой. Источниками вЫнужДбнных колебаний несущего элемента опоры могут быть как периодические изменения внешней нагрузки по величине или направлению (Р. 3. Алиев [45, ч. 1 ], Осман [54, т. 87, № 3]), так и аналогичные изменения реакции смазочного слоя, обусловленные вибрациями основания (В. А. Биушкин и др. [45, ч. 1]), дебалансом ротора [41] или скольжением профилированной поверхности смазочного слоя [7]. Вынужденные колебания могут специально генерироваться как. источник несущей способности так называемых вибронесущих газовых опор; исследованию динамической устойчивости такого рода опор посвящены работы Пэна и Чанга [46, т. 91, № 1], Г. А. Завьялова и др. [45, ч. 1 ]. Мало лзучен вопрос о резонансных явлениях в газовых опорах; должное внимание было уделено только одной характерной разновидности таких явлений - резкому увеличению амплитуды синхронной прецессий, обусловленной дебалансом ротора при определенной скорости вращения [41].

Еще одна важная группа комбинированных задач газодинамической теории смазки, которая пока не стала объектом систематического исследования, связана с изучением динамического поведения газовых опор при переходных режимах, в частности при запуске и останове.

Таковы основные проблемы, теоретические методы и результаты, характеризующие современный уровень развития газодинамической теории смазки.

3. Основные этапы решения задачи устойчивости газодинамических подшипников

В приборах и скоростных машинах малой и средней мощности при решении задачи устойчивости приходится рассматривать сложные механические системы, имеющие большое число поступательных и вращательных степеней свободы, с подшипниковыми узлами, содержащими легконагруженные газодинамические подшипники. Автором предлагаются основы расчета и проектирования таких подшипников, которые обеспечили бы динамическую устойчивость системы, выдерживая в то же время заданную нагрузку без сухого трения. Решение эТой задачи разбивается на ряд этапов.

Первый этап (гл. II) заключается в построении математических моделей, описывающих динамику систем ротор-подшипники различной геометрии и учитывающих возможность поступательных и угловых перемещений как ротора, так и статора, поскольку податливость статора может оказывать значительное влияние на устойчивость. Ограничиваясь случаем малых колебаний механической системы, можно линеаризировать соответствующую систему уравнений динамики и, что особенно важно, разбить ее на ряд сравнительно простых подсистем, перекрестные связи между которыми могут быть достаточно слабыми (например, при симметричном расположении масс). Основным результатом гл. II яв-

ляется теорема, определяющая условия, при выполнении которых из устойчивости изолированных подсистем вытекает устойчивость системы в целом с учетом перекрестных связей.

Вторым этапом является уточнение структуры динамических уравнений, сформулированных в гл. II, речь идет о тех членах уравнений, которые определяют реакции газодинамических подшипников. Для определения этих реакций необходимо выбрать ту или иную математическую модель смазочного слоя газового подшипника. В качестве такой модели обычно употребляется нелинейное уравнение Рейнольдса, которое описывает распределение давления в смазочном слое и содержит в общем случае три независимые переменные-две координаты и время. Его численное интегрирование связано с большими затратами времени на ЭВМ, к тому же численная форма решения неудобна для последующего динамического анализа. Удобное приближенное аналитическое решение получается в результате линеаризации уравнения Рейнольдса, предварительно преобразованного к новой искомой функции = РН (Р -давление, Я -местная толщина смазочного слоя), с помощью итерационного метода, который является модификацией мегода Ньютона-Канторовича. Уравнение первого приближения совпадает с уравнением, которое ранее было получено Османом [53, т. 83, № 2] на основании полуинтуитивных соображений. В гл. III, посвященной обоснованию вышеупомянутого метода, который условимся называть обобщенным методом РЯ-линеаризации, показано, что во многих случаях вместо построения довольно громоздкого второго приближения более целесообразно корректировать первое приближение с помощью аддитивной поправки. В гл. IV этот метод использован для приближенного интегрирования стационарного уравнения Рейнольдса применительно к конкретным типам газовых подшипников и для получения соответствующих аналитических выражений статических реакций подшипников. Эти стационарные решения представляют самостоятельный интерес, и в то же время они существенно используются в начале гл. V при построении нестационарных решений задач газовой смазки тем же методом РЯ-линеа-ризации и при определении динамических реакций подшипников, выражения которых непосредственно входят в уравнения динамики системы ротор-подшипники.

Третьим, заключительным этапом решения поставленной задачи является исследование линеаризованных уравнений динамики ротора с целью установления условий устойчивости в малом и других динамических характеристик колебательной системы, необходимых для оптимального проектирования подшипников (гл. V). Анализ устойчивости подсистем, описывающих поступательные и угловые колебания ротора в радиальных и ра-диально-упорных подшипниках, производится с помощью частотных методов, основанных на применении критерия Михайлова- Найквиста, более удобного для систем высокого порядка, чем

обычно применяемый критерий ГурвиЦа; при этом эффективно используются идеи и средства теории автоматического регулирования, согласно которой система ротор-подшипники рассматривается как многоконтурная система стабилизации положения вращающегося ротора относительно подшипников, с обратными связями, причем роль регулятора прямого действия выполняет смазочный слой. Устойчивость определяется величиной, названной вихревай жесткостью подшипника, которая первоначально рассчитывается методом РЯ-линеаризации в первом приближении, а затем уточняется методом гармонического баланса. Условия устойчивости представлены в такой форме, которая позволяет легко производить расчет оптимальных параметров газовых подшипников по критерию максимума запаса устойчивости с помощью ЭВМ, имеющих ограниченный объем памяти.

Следует отметить, что одной из наиболее эффективных разновидностей газодинамических подшипников, получившей в последние годы широкую популярность, являются подшипники, профилированные спиральными (или шеврднными) канавками. Поэтому такого рода опорам уделено основное внимание в настоящей монографии (гл. IV-VI). До сих пор расчет подшипников со спираль-лыми канавками, как уже упоминалось в п. 2, проводился почти исключительно на основе различных модификаций метода узких канавок, первоначально разработанного Уипплом [56]. Этот метод, при всей его практичности, имеет некоторые принципиальные недостатки. Обобщенный метод РЯ-линеаризации позволил получить более корректные решения задач газовой смазки подшипников со спиральными канавками, с помощью которых проведен критический анализ метода узких канавок и уточнены границы его применимости.

В конце книги (гл. VI и приложения) показано применение теории, разработанной в предыдущих главах, к расчету некоторых характерных разновидностей газодинамических подшипников и дано сравнение теоретического анализа с экспериментальными, данными.

Подчеркнем, что теоретический анализ устойчивости, выполненный в настоящей монографии, доведен до инженерных методов расчета границ устойчивости машин и приборов с газодинамическими подшипниками, имеющими различную геометрию рабочих поверхностей.

Г Л А В А II

УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ РОТОРА В ПОДШИПНИКАХ СКОЛЬЖЕНИЯ С ГАЗОВОЙ СМАЗКОЙ

4. Уравнения динамики машин со свободным ротором

При изучении устойчивости и виброустойчивости машин и гироскопов, роторы которых вращаются в гидродинамических подшипниках, необходимо учитывать дополнительные степени свободы относительного поступательного перемещения ротора и статора, связанные с податливостью последнего. Эти степени свободы могут явиться источниками погрешностей приборов при динамических перегрузках и вибрациях, поэтому их учет необходим при исследовании точностных характеристик.

Для гироскопа в кардановом подвесе, кожух которого имеет три угловые степени свободы и может совершать поступательные перемещения за счет податливости подшипников, учет дополнительных степеней свободы ротора приводит к системе с 12 степенями свободы. Описание и исследование поведения такой сложной системы обычными методами связано с серьезными трудностями из-за большого числа переменных, входящих в дифференциальные уравнения.

Для того чтобы преодолеть эти трудности и сделать описание динамики легко обозримым, будет использоваться комплексная форма записи дифференциальных уравнений в опорной системе координат, движущейся поступательно. Задачи, которые будут рассматриваться, не потребуют учета переносных вращательных движений этой опорной системы координат. -

Рассмотрим вначале простейший случай одноопорной машины, например сферический гироскоп со свободным ротором [20], схема которого показана на рис. 10. В такой машине ротор, имеющий идеальную сферическую поверхность, вращается в газодинамических подшипниках, образованных двумя полусферическими чашами. Предположим, что центр масс ротора совпадает с центром его сферической поверхности. СтатЪр жейтко закреплен в кожухе и составляет с ним одно твердое тело, а кожух укреплен на платформе, установленной в кардановом подвесе и стабилизированной с помощью следящей системы. В этом случае платформа совершает только поступательные движения и, если учесть податливость колец карданова подвеса, система будет иметь 9 сре-пеней свободы, из которых 6 относятся к ротору. Будем рассматривать случай, когда ротор имеет симметричный эллипсоид инерции. Положение и ориентацию ротора определим с помощью

систем координат OXYZ-,-OXYZ и орта f , направленного, по оси фигуры (рис. И).