Испытания проводились в двух серияк: а) с малыми зазорами от ,у до 12,7 мкм, соответствующие им точки обозначены треугольниками а роторы -Л; б) с большими зазорами от 13,5 до 1 мкм, соответствующие им точки обозначены кружками. Угол а варьировался при испытаниях в пределах от 50 до 60° а количество канавок - от 20 до 28. Во всех случаях вес ротора

Рис. 30

и размеры подшипников принимались одинаковыми {2Mi = - 2,75 кгс; L == D = 27? = 38 мм). В результате этих экспериментов было установлено, что полускоростной вихрь легко достигается лишь в серии испытаний с большими зазорами. На рис. 30

Таблица

I. Параметры экспериментальных роторов по 146, т. 91, № 1]

для точек, обозначенных треугольниками, поданным эксперимента при малых зазорах - возникновение полускоростного вихря не наблюдалось вплоть до угловых скоростей Q = 60 ООО об/мин.

Заметим, что теоретические границы устойчивости были построены для ttopt = 66°, тогда как в экспериментах а = 50-т-60°, однако расчеты показали, что это отклонение в угле а приводит к незначительному изменению положения границы области устойчивости. К такому же изменению области устойчивости приводит уменьшение параметра т) от оптимального значения 0,45 до 0,30. Это можно увидеть из сравнения границ устойчивости прямых 1, 2, 3.

Из рис. 30 видно, что экспериментальные точки располагаются ближе к границе устойчивости, отвечающей оптимальным параметрам. Вследствие отклонений действительных форм несущих поверхностей подшипников от идеальных запасы устойчивости экспериментальных роторов оказываются несколько больше теоретических. Это превышение запаса устойчивости, как видно из рис. 30, незначительно.

Из проведенных теоретических исследований обратим внимание на следующее.

1. Оптимальные значения параметров (T)opt = 0,45 и aopt = = 66°) соответствуют максимуму запаса устойчивости для значений Л, меньших Л . Эти значения были получены путем вычисления максимума функции (т), а), определенной формулой (6.5). Максимум этой функции равен 0,122. Подставляя оптимальные значения т), а и /х в формулу (6.9), получим уравнение границы области устойчивости

(6.10)

где определяется по формуле (6.7).

2. При Л > Л оптимальные значения а и т) будут другими и их уже надо определять из условия максимума функции (6.9). Большие значения Л соответствуют большим угловым скоростям Q или малым зазорам и здесь уже необходимо считаться с эффектом проскальзывания.

3. С целью сравнения теории с экспериментом при расчете границ областей устойчивости было принято Оц = 1, но все выведенные формулы справедливы и для других значений Oq. Из формулы (6.10) следует, что область устойчивости расширяется при уменьшении о. Отсюда следует, что длина подшипника L оказывает существенное влияние на устойчивость. Вместо безразмерной массы целесообразно рассматривать, величину Оо-М, при этом расчет устойчивости можно производить, используя области устойчивости на рис. 30..

4. Вычисление для указанных выше параметров показывает, что область устойчивости-простирается в сторону увеличе-

ния л значительно дальше, чем это предсказывается теорией Пэна [54, т. 86}. Для оптимальных параметров (т) = 0,45; а = 66°)

имеем Л

400.

29. Вычисление вихревой жесткости простого цилиндрического подшипника при постоянном эксцентриситете

Хорошо известно, что в простых цилиндрических самогенерирующихся подшипниках стабилизация вала ротора обеспечивается за счет эксцентричного смещения положения динамического равновесия [53, т. 85, №4; 54, т. 86]. В случае, если ротор устанавливается в двух коаксиальных цилиндрических подшипниках, необходимый эксцентриситет создается путем нагружения вала внешней радиальной силой, например силой тяжести. Отмечалось, что такой способ стабилизации не пригоден для машин с вертикальным валом или при отсутствии гравитационных нагрузок. Однако можно создать искусственное нагружение, например, путем применения подшипников с несколькими, втулками, эксцентрично расположенными относительно друг друга.

В соответствии с выводами предыдущих параграфов будем вычислять вихревую жесткость подшипников для случая центрального положения динамического равновесия.

Вихревая жесткость одного подшипника, состоящего из двух втулок (см. рис. 9), при наличии вентиляционного канала, соединяющего проточку между втулками с окружающей атмосферой, может быть найдена как сумма вихревых жесткостей двух простых цилиндрических подшипников.

Устойчивость вала в простых цилиндрических подшипниках, находящихся под постоянной нагрузкой, исследовалась в ряде работ [44; 53, т. 85, № 4; 54, т. 87, № 1 ] и др. Результаты большинства этих работ представлены в виде диаграмм, причем так, что один из определяющих параметров зависит от нагрузки. Для рассматриваемой здесь задачи более удобными являются диаграммы устойчивости, не содержащие нагрузки. Такие диаграммы были построены в работе Кастелли и Элрода [54, т. 87, №J ].

Следуя С. А. Шейнбергу [58], примем результаты работы [54, т. 87, № 1 ] в качестве эталона для сравнения и попытаемся найти приближенное аналитическое представление критерия устойчивости.

Будем вычислять коэффициент а вихревой жесткости одной втулки при постоянном эксцентриситете г = Sq. Заметим, что применить непосредственно формулу (5.83) нельзя, так как эта формула выведена применительно к случаю 3. В данной задаче = 1 и коэффициент вихревой жесткости а должен вычисляться иначе.

Будем исходить из решения нестационарной краевой задачи (5.71) для цилиндрического подшипника с гладкой втулкой (и =

- -cos tp), и вычислим коэффициент вихревой жесткости в предположении, что орбита вихревого движения круговая, а частота полускоростного вихря на границе устойчивости близка к Q/2. Для этого воспользуемся формулами (5.63) и (Э.68), которые дают

Здесь AF и A - установившиеся вариации, соответствующие микровихрю,

ДЯ =-- Р (е (ЬТ-Ф) е-1 (X.-t-ф);

Яо= 1 -8осо5ф; ДГ= RejAJfi. Что касается Д7, то ее можно найти исходя из (5.12)

ДУ= RejAJI = = \ Ы (S, S, i) е-ф Ail + Г (S, S, - О еф Дё1],

(6.12)

(6.13)

где Aei = Ae + iAsn; Де! = Де- iAer,. Для установившегося вихря имеем;

Д! = ре ; Тг\ = ре- . (6.14)

Переходя в (6.13) от Изображений Лапласа к функциям времени, учитывая (5.14) и рассматривая каждое слагаемое как независимую реакцию на гармоническое воздействие, получим для установившегося режима при s = tXo

Ai = 4- + = °-

Учитывая это обстоятельство и подставляя (6.12) в (6.11) после интегрирования по т, найдем

til .

difdl

(6.15)

Этот результат является приближенным и должен быть уточнен. Прежде всего необходимо уточнить функцию под знаком интеграла, что можно сделать х; помощью аддитивной поправки (4.18) к функции 01. Кроме того, можно произвести коррекцию формулы (6.15) путем сравнения асимптотического значения а из (6.15) при Хо ~ + с его истинным асимптотическим значением.

Заметим, что намеченный здесь путь, уточнения отличается от обычного. Последний должен был бы заключаться в вычислении динамической поправки к первому приближению AY,

согласно формуле (5.78), что, однако, связано с громоздкими вы- кладками. Поэтому довольствуемся на 1-м этапе только статической поправкой Ao(Q, которая уже вычислена в п. 15.

Таким образом, на первом этапе из (6.15) с учетом (4.18), (4.19) получаем

у 10 + Ар (g) HI

+1 2я -10

= wftr(o-f) j.-bi..! . (6.16,

\о У

Учитывая выражение для из (6.12) и вычисляя интегралы, после проведения необходимых выкладок, получим

Здесь Ао и Во - вещественная и мнимая части интеграла (хо, Оо) из (4.24),

Ло=Ке{д7}; 5o = Im{s7}.

(6.18)

Полученная формула (6.17) дает оценку коэффициента вихревой жесткости одного цилиндрического подшипника с учетом торцевой утечки. Для апробирования этой формулы сравним результаты вычисления а по формуле (6.17) с численными данными Костелли и Элрода. [54, т. 84, №1] и С. А. Шейнберга [58]. Сравнение это можно сделать, если заметить, что на диаграмме устойчивости, приводимой в работе Кастелли и Элрода [54, т. 87, № 1], по оси абсцисс откладывается величина Хо/а, а по оси ординат - критерий устойчивости = 4а. Следует также учесть, что результаты этой работы относятся к цилиндрическому подшипнику бесконечной длины, тогда в (6.17) необходимо положить Ао = \; Во = 0.

Величина aSi, фигурирующая в критерии устойчивости Кастелли и Элрода, может быть вычислена по формуле

(6.19)

На рис. 31 показано сравнение диаграмм устойчивости, полученных по теории автора - кривые / и по теории Кастелли и Элрода - кривые 2 для значений 8о = 0,4 и 8о = 0,2.

Из диаграммы видно, что расхождение имеет место особенно при больших числах сжимаемости Хо и больших 8о. Качественно же результаты согласуются хорошо. 152.

Для количественного уточнения формулы (6.17) рассмотрим асимптотику при Хо +со. Из рис. 31 видно, что параметр аМ, а следовательно а при увеличении Хц стремится к некоторому предельному значению, которое зависит только от 8о.

Будем исходить из того, что периодическое решение РЯ-линеа-ризованной краевой задачи, отвечающее вихревому движению шипа при Хо оо, стремится к некоторому пределу ¥ico, которое может отличаться от истинного предельного значения при тех же граничных условиях некоторым периодическим членом

403 = 41 со-fФ(ф - Xo)

(6.20)

е -о.2

Это следует из того, что точное уравнение Рейнольдса и его РЯ-линеаризованная модель имеют в пределе одно и то же уравнение

4; + --!-t = 0. (6.21)

Из уравнения (6.21) мы не можем определить асимптотическое значение решения точного уравнения Рейнольдса, так как краевая задача

в пределе имеет разрывные граничные условия. В силу этого искомое асимптотическое решение будем искать исходя из модельного решения при конечных Хо путем предельного перехода.

Малые поступательные колебания шипа в окрестности смещенного положения равновесия описываются уравнением (5.33). Если подставить в это уравнение Afj из (5.18) и представить вариацию зазора в изображениях Лапласа

(6.22)

Рис. 31

АЯ-Се Asi-f еА8;),

то оно запишется в таком виде:

сМ -Asi = - A8i Хо

H Wis. L i) + Yo dl-

- Asi

T Hoir(s.g, -O+Kq drfdl-{-u, (6.23)

J J Hq

где аМ = MblpaRL; Го = -ЯоГ П -стационарное

решение; Afig-внешнее возмущение.