Уравнения (5.7)-(5.9) в изображении по Лапласу при выполнении условии (5.10) запишутся следующим образом:

ХО АФ -sAT = хо Аф + 5Д; k=.±x = 0; Аф = Аф+2л;

(5.11)

Преобразованную краевую задачу можно решить с помощью подстановки

Д=Г(5, , OeAi. (5.12)

Здесь W (s, , х) - неизвестная комплексно-значная функция координаты и параметра s.

Подставляя (5.12) в (5.11), после простых преобразований получим уравнение для W (s, , i)

ooW -(1 -ixo + s)ir= ixo -s; = 0. (5.13)

Сравнивая это уравнение с уравнением (4,13), заметим, что оно отличается только наличием параметра s. Решение уравнения (5.13) запишется по аналогии с (4.14)

1 - Хо + S

ch (9g)

(5.14)

4 = y\~nb-s .

Подставляя найденную функцию W в (5.12), получим решение краевой задачи в изображмии по Лапласу. Согласно (5.8) и (5.9) получим изображение ДР в виде

ДЯ =

Re{Ar}

--Ке{Го} ДЯ = -Ке{Г(5, I, Ое--А)-

-- RelJifol АЯ.

(5.15)

В этом выражении неопределенной осталась только функция Ж о, соответствующая задаче статики для цилиндрического подшипника при Дб = 0 и = 0.

Для шевронного подшипника с синусоидальными канавками Жй определяется из уравнений (4.29)-(4.30). Таким образом, получим решение нестатической задачи газовой смазки для цилиндрического подшипника с произвольным профилем несущей поверхности и, в частности, для шевронного подшипника с синусоидальными канавками. Для определения распределения давления осталось сделать обратное преобразование Лапласа в (5.15). 118

Не останавливаясь на этом, Заметим, что путем применения теоремы свертки это решение можно было бы привести к виду интеграла Дюгамеля [2], т. е. представить вариацию давления АР в смазочном слое через функцию Грина данной краевой задачи. Однако, периодические режимы удобнее изучать частотными методами исходя из (5.15) непосредственно.

При изучении колебаний шипа основное значение имеет не распределеннная вариация давления, а интегральная характеристика - главный вектор сил давления, который является реакцией подшипника на перемещение. Удельная величина этой реакции может быть вычислена путем варьирования формулы (4.23) в окрестности центрального положения шипа и последующего преобразования по Лапласу

ДР1 =

pJRL f f APedd.

(5.16)

Подставляя в эту формулу (5.15), получим:

L Яо

- Re \Жо\ ДЯ] е--Рф = = - 4 j j (Ие-ф Дё-Ь Г*еР Дё*) е* йф dl + (Хо + Ж1) (А+ Д) е* ф dl.

Здесь W*, Жо, А3€ -сопряженные значения комплексно-знач-

ных функций.

Учитывая, что -Kt-f; АШ = -At\e\ Aej =

= Де + гДе; Ае* = Де - гДе, получим

- X 1 (If + ж iol) eddl, (5.17)

(s) °

где Яо == 1 + TjH (ф, I); W, W* определяется подформуле (5.14), причем W* = W (s, I, -i). Таким образом, выражение для удельной реакции, преобразованное по Лапласу, имеет следующую структуру:

= - G (s, О Aei - G (s, -0 Aei.

(5.18) 119

Из этой формулы Видно, что реакция радиального подшипника выражается в 1-м приближении с помощью двух комплексно-значных передаточных функций и ее следует рассматривать как стабилизирующее воздействие некоторой двухканальной системы автоматического регулирования прямого действия, а зависимость (5.18) - как уравнение этого регулятора.

Из (5.18), как частный случай, получается формула для подшипника с симметричным периодическим профилем.

Если профиль подшипника периодический с периодом 2я/п при л 3, то выражение (5.18) упрощается. Действительно, при несмещенном равновесном положении ,шипа как функция зазора Но, так и функция распределения давления должны быть периодическими с периодом 2я/п. Тогда второй член в (5.17) исчезает, как интеграл от производных ортогональных функций, и изображение реакции принимает более простой вид:

PaRL

4- A8i J j -f-щ- Re {Жо\)(1ц>й:, = - G(s, 0 Ae.

(5.19)

Положение равновесия при e = О (центральное) характерно для гироскопов и машин, работающих в условиях невесомости или малых радиальных нагрузок.

Ограничиваясь здесь выводом формулы для главного вектора реакции радиального подшипника, мы должны заметить, что полученное выше решение (5.15) может быть применено и для вычисления момента сил трения. Последние при определении реакции AF обычно не учитываются вследствие своей малости. Влияние вариации давления АР на момент сопротивления также предполагается весьма малым по сравнению с основным статическим моментом.

22. Динамическая реакция радиального подшипника на угловые перемещения вала

Краевая задача динамики при малых угловых перемещениях вала может быть исследована тем же путем, что и при малых поступательных колебаниях шипа.

При исследовании угловых колебаний ротора в газодинамических подшипниках важно иметь аналитическое выражение мгновенного значения момента сил реакций подшипников.

Рассмотрим малые угловые колебания шипа, при которых ось подшипника все время пересекается с осью шипа в его средней точке. Такие колебания, называемые коническими, могут иметь место в гироскопе катушечного типа (п. 1), радиальная опора которого состоит из одного цилиндрического подшипника. На рис. 26 изображена схема ориентации вала относительно си-120

стемы координат OXYZ, связанной с опорой, и ОП. связанной с осью вала (система координат Резаля): а-угловых перемещение вала относительно подшипника; б-комплексной силы давления, действующей на элемент поверхности шипа. В качестве исходных используем уравнения нестационарной краевой задачи

газовой смазки (5.1), (5.2). Изменится лишь уравне-ние функции зазора (5.3), которое в данном случае согласно (3.39) запишем в виде

+ Р Sin ф)-{-г1*ц(ф,0. (5.20)

Здесь t, - безразмерная координата, отсчитываемая вдоль оси шипа от средней точки; аир - угловые перемещения оси шипа в проекциях на ко- р 26

ординатные плоскости

ZOX н Z0Y (рис. 26, а).

Ввиду принятых обозначений системы координат Резаля через , ц, t, величина Е/(8 + £), ранее обозначенная через т), в этом параграфе обозначена через f\*; функция и (ф, ) имеет прежний смысл. Не повторяя рассуждений и выкладок, приведенных в предыдущем параграфе, обратимся сразу к уравнениям (5.11). Учитывая, что в данном случае вариация комплексного

зазора может быть записана в виде

и подставляя ее в правую часть первого уравнения (5.11), будем иметь:

+ его AJzz- ХоАХф -S АЖ =

= 2 {б + Е)- (iXo -5)(а~ф);

АЗ£=±, =0; АЖ\= АЖ\+2п. Решение ищем в форме

Подставляя (5,23) в (5.22), получаем

alW -{\ - ixo~s)W = {iio - s)l; Г£==±, =0. (5.24)

Здесь в отличие от (5.13) правая часть оказывается зависящей от безразмерной координаты . Обозначая, как и прежде,

Здесь dFi - вектор ё комплексной форме, приложенный к концу (5 21) fl вектора 1=4 11 , определяющего положение рассматриваемого

элемента; So -орт оси.

Сила dPi порождает момент dSi относительно точки О как полюса. Этот момент также представляется в комплексной форме. Согласно рис. 26, б имеем:

(5.22)

(5.23)

2 1 - Хо + S

(5.25)

представляем общее решение уравнения (5,24) в виде

о 9

Используя граничные условия и определяя произвольные постоянные С, и Сг, окончательно находим:

Sh (qj)

(5.26)

В данном случае функция W {I, s, i) имеет несколько другой вид, чем в п. 21, но решение для вариации давления АР сохранится в форме (5Л5), где, кроме W, изменится лишь выражение для функции АЯ. Функция Ж остается той же, что при поступательных колебаниях шипа, так как она определяется для одного и того же невозмущенного положения равновесия.

Переходим к вычислению восстанавливающего момента смазочной пленки. Определим вначале дифференциал dF комплексной силы давления, действующей на элемент поверхности шипа длиной dl. Учитывая формулу (5.16), найдем:

dPi = -PaPydsJ АРе* йф;

dF, = dP -j- i dF.

, dP, = I dPg +. nFr, +b; / = у

Составляя векторное произведение, получим

о 0 0

dS,=-lxdF, = Отсюда находим

О О 1 dFdF О

= 4(ПМР5-МР,).

dS, = dS + I dS = Ц Y 1-

(5.27)

Интегрируя это выражение по I от -1 до -f 1, получим искомый момент

S, = i у7 ldF, = -pi\\i АРе-Рф dl. (5.28)

-1 (S)

Для того чтобы вычислить этот момент окончательно, надо преобразовать (5.28) по Лапласу и подставить вместо АР его выражение через а + ф. Найдем это выражение исходя из (5.23) и (5.26). С учетом (5.8) и (5.9) будем иметь

= Wo i -W

= -2ЩГЁ) -Щ R{We-< (а + т 771 АН, (5,29)

АЯ = } {АЖ + АЖ*) = - 4(6[(а + Ф)е-< + + (а-ф)е-Р],

(5.30)

Подставляя (5.29) в выражение (5.28), предварительно преобразовав последнее по Лапласу, учитывая (5.30) и производя упро-