запишется так: Р-1

3?ol (1 - 9 sin 2а - TiXo cos -

--- TiXoCosasino) (1 -f- ticos(o),

(4.64)

где (О = Лф + p; 0<ф<2я; 0<?<1.

Из этого выражения можно видеть, что распределение давления по длине имеет периодическую составляющую, первая гармоника которой сдвинута по фазе относительно функции зазора на четверть периода, достигает максимума в конфузорнойа минимума в диф-фузорной области смазочного слоя. Асимптотические эпюры давления вдоль образующих профиля ( = const) имеют прямолинейный характер. По мере увеличения числа канавок переменная составляющая убывает, но интегральное действие всех канавок сохраняется, о чем свидетельствует первый член (4.64), отражающий эффект поперечного нагнетания.

Асимптотическое решение (4.64) носит осциллирующий (колебательный) характер, при п -* -Ьоо частота осцилляции будет бесконечно большой.

19. Влияние шевронных канавок на жесткость радиального подшипника

В общем случае жесткость радиального подшипника может быть определена с помощью матрицы четырех вещественных коэффициентов. Матрица устанавливает взаимосвязь между приращением АР главного вектора сил давления и приращением Ае вектора смещения. Коэффициенты этой матрицы определяются на основании решения краевой задачи газовой смазки путем вычисления главного вектора.

Будем определять жесткость подшипника в центральном положении шипа, предполагая число канавок п большим. Для этого вычислим реакцию смазочной пленки радиального подшипника с канавками при малом смещении центра шипа вдоль оси ОХ (см. рис. 21). Эта реакция может быть вычислена так же, как и для гладкого подшипника. Предполагая, что эксцентриситет е мал, варьируем уравнение (4,23) и, учитывая, что

(4.65)

представим удельную реакцию подшипника в следующем виде:

1 .

PaRL

(-А) (4.66)

где Pi = Р + iF -комплексная сила реакции; Яц = 1 - - Л cos (О - безразмерный зазор при центральном положении

шипа; АЯ = -е cos ф - вариация зазора, обусловленная малым смещением шипа е; AF -статическое решение краевой задачи (4.6) для гладкого подшипника при малом смещении шипа; - статическое решение краевой задачи для центрального положения шипа с учетом наличия канавок. При интегрировании первого члена в. правой части (4.66) можно воспользоваться результатами п. 15. Подставляя в первый член вместо AF величину - Я, из (4.19) получим

1 2я

где со = Лф ~- р.

Далее, учитывая (4.24) и (4.25), получим при /г 3

1 2я

Для интегрирования второго члена в правой части (4.66) воспользуемся решением (4.43). Из (4.43) для Y получаем выражение

П = ¥о-Яо = п Re {/ (О е--} + А Ц).

Подставляя это выражение в (4.66), получим

1 2я

Г) Re {/ng- } + A (g)

(1 - т) cos (О)

(4.68)

(4.69)

Это уравнение аналогиедо выражению (4.51) и отличается от последнего только коэффициентом и степенью в знаменателе подынтегральной функции. Примем далее, что выполняется условие а < tg а, которое было принято в п. 18. Обращаясь сразу к формуле (4.56), вытекающей из (4.51), и заменяя в интегралах (1 - т] cos (о) на (1 - т] cos (о) получим искомый результат

% COS* а

1 + cos* а

cos (О da (1 -T)cos(u)2 +

% cos* а 4 Л \jy2 cos*a

(1-T)cos(u)2 4 1 + cos*а (l-ricoscu)

(4.70)

Этот результат справедлив при a<tga (см. п. 18). Суммируя (4.67) и (4.70), получим правую часть (4.66). После деления на е и приведения подобных членов, получим для удельной жесткости

Xcosa

подшипника следующую формулу:

JXT2 Txcosg , 3x sin 2ra

4(1-T,2)J/1

1 + x cos a 2a 1 + x cos*

t)- (4.71)

Bee обозначения здесь те же, что и в предыдущих параграфах. Первый член правой части представляет собой коэффициент жесткости цилиндрического подшипника при малых смещениях. Этот коэффициент может быть вычислен по формулам пп. 15, 16, в которых Хо определяется по формуле (4.57).

Первый член (4.71) может быть вычислен и с помощью численных данных С. А. Штейнберга [57]. Второй и третий члены отражают влияние канавок, так как видно, что,при т] -> О эти члены исчезают. Существенно, что так же, как и для упорного подшипника (п. 18), второй член отражает эффект продольного нагнетания, а третий - поперечного. Выведенная формула пригодна, когда о < tg а, т. е. в случае большого числа канавок или длинного подшипника.

Проверка показала, что формула (4.71) при х +со дает результат, который отличается от точного в членах четвертого порядка относительно т]. Предельное значение Fi/{eRLpa), полученное на основании точного решения, равно

eRLpa (1 т,2) j/ ! г,2

+ 0(е).

(4.72)

Приближенное выражение получается предельным переходом в (4.71)

я(1 + А.)

sRLpa (1 T,2)J/1 T,2

о (е--).

(4.73)

Сравним результаты вычисления по формуле (4.71) с результатами вычисления по теории Вора и Чау [54, т. 87, № 3]. В этой работе приводится пример расчета радиальной жесткости шевронного подшипника в асимптотическом случае большого числа канавок прямоугольной формы. Ширина канавки и выступа принята одинаковой, отношение максимальной величины зазора к минимальной равно 2,1, относительная длина L/D = 1, угол наклона канавок к образующей равен 57,2°.

Произведем расчет радиальной жесткости подшипника с указанными выше параметрами по формуле (4.71). Предполагаем, что прямоугольный профиль заменен синусоидальным, причем так, что глубина канаво! остается той же. В наших обозначениях параметры подшипника, эквивалентного рассмотренному в работе 108 .

Вора и Чау, следующие: а = 57,2° - угод наклона канавок;

Оо = 1 -геометрический параметр; ц = = 0,36 -

относительная величина амплитуды изменения зазора.

Результаты вычисления радиальной жесткости по формуле (4.71) показаны крестиками на рис. 25, где приводятся также данные расчета по методике Вора и Чау (точки). По оси абсцисс

отложено число сжимаемости

а по оси орди-

(1-4)

нат -радиальная жесткость, которая определена по формуле

I f I cos Ф гЮра

Зя TiXo sin 2а

16 a (l-yf)Vl-y]

\F,\cosargF,

EPgRL

где Ф = arg F. При вычислении по этой формуле значения (Хо. Оо) в?яты из приложения 2.

Как видно из рисунка, совпадение получилось хорошим, несмотря на то, что расчет производился для случая синусоидального профиля. Такое хорошее совпадение мы должны рассматривать, по-видимому, как результат ряда упрощений, принятых в работе Вора и Чау. Кривая, рассчитанная по (4.71), имеет максимум, который на рис. 25 не обнаруживается, так как достигается при большом значении

Рис. 25

(1 -t])2cos2a

Например, при /г = 18 получим для рассматриваемого случая

0,29-0.4

150.

20. Асимптотическое решение краевой задачи статики для подшипника с шевронными канавками произвольного профиля

Результаты, полученные для подшипников с синусоидальным профилем могут быть распространены на подшипники с произвольным периодическим профилем, описываемым дифференцируемой функциейзазора. Более того, если функция зазора представляется быстро сходящимся рядом Фурье, то достаточно ограничиться учетом только первой гармоники этого ряда. На практике при-

ходится иметь дело с подшипниками, имеющими канавки прямоугольного сечения. В этом случае функция зазора имеет разрывы непрерывности 1-го рода и разлагается в ряд Фурье, сходящийся медленно. Учет только первой гармоники здесь может оказаться слишком грубым приближением.

Для оценки этого приближения можно было бы учесть при разложении функции зазора в ряд Фурье несколько членов с тем, чтобы оценить вклад каждой гармоники в полученном решении. Этот вопрос требует специального рассмотрения, и мы его оставим в стороне. Рассмотрим асимптотическое решение, соответствующее большому числу канавок л другим методом, отличным от обобщенного метода РЯ-линеаризации. Метод, которым мы будем пользоваться, не требует разложения функции зазора в ряд Фурье и применим к шевронным и спиральным подшипникам с любым профилем поперечного сечения канаюк.

Рассмотрим краевую задачу газовой смазки или цилйндриче-скогх) подшипника с шевронными канавками при нулевом эксцентриситете. Постановка этой задачи дана в пп. 17, 18, но на этот раз мы будем исходить из уравнения Рейнольдса в форме (3.20), которое перепишем, обозначая производные штрихами и подстрочными индексами,

{НРРУ + org {НРРЦ = хо (ЯР)ф. (4.74)

Граничные условия для рассматриваемого случая будут иметь вид:

Р/£=±1 = 1; Р/ф = Р/ф + 2я. (4.75)

Функция зазора для шевронного подшипника определяется с помощью выражения

Я= 1+iit;(a)), , (4.76)

1, 0<?<1; О, ? = 0; -1, -1?<0.

Смысл всех обозначений остается прежним. Дополнительного пояснения требует лишь сложная функция v (w), характеризующая форму профиля. Функция V ((о) предполагается периодической с периодом 2я. Ее аргумент, в свою очередь, является кусочно-линейной функцией координат ф и . Таким образом, эта функция дифференцируема почти всюду, за исключением точек разрыва 1-го рода. Для профиля в виде прямоугольной волны функция

t; (со) = sign (cos (о). (4.77)

Следует заметить, что существование решения уравнения (4.74) с граничными условиями (4.75) при разрывных коэффициентах проблематично. Для того чтобы не заниматься этой проблемой, предположим, что функция зазора Я = Я (со) непрерывна и дифференцируема требуемое число раз, а по форме близка к реальной. 110

где со = лф + р; р =

Разрывной функцией (4.77) мы будем полЬзоваТьсй лишь на конечном этапе при вычислении интегралов.

Основываясь на результатах исследования, проведенного в п. 18 для шевронного подшипника с синусоидальным профилем, предположим, что и в данном случае существует некоторое асимптотическое решение, к которому приближается истинное решение при уменьшении параметра а = ajn.

Для нахождения этого решения преобразуем уравнение Рейнольдса (4.74), граничные условия (4.75) к новым независимым переменным со, v с помощью следующих соотношений:

со = лф + р;

(4.78)

В результате преобразования получим следующую краевую задачу: {НРРа,Уа, + о {[НР фРш + Pv)U + ШР фРо> + Pv)]v] -

а(ЯР)ш = 0. (4.79)

Здесь р - величина постоянная в каждом из частичных интервалов [см. (4.76)], р = tg а/о; Н = Н ((ч) - периодическая функция со с периодом 2я; Р (co,v) -периодическое по со решение уравнения (4.79).

Решение уравнения (4.79) должно удовлетворять следующим граничным условиям:

P/v = ±i = l; Р/<о = Рш+2я. (4.80)

Имея в виду симметрию шевронного подшипника, решение краевой задачи можно искать лишь для одной его половины О < ? < 1.

Предположим, что при достаточно малом о = Oq/h, решение может быть представлено в виде ряда

P = Po + aPi + aP,+ ---, (4.81)

в котором Ро, Pi, . .-суть функции координат со, V. Подставляя (4.81) в (4.79) и приравнивая нулю члены при одинаковых степенях малого параметра о (начиная с нулевой), получим уравнения для определения функций Рц, Pi, . ; Первое такое уравнение будет содержать только функцию Ро

(ЯзРоРосо)ш = 0. (4.82)

Общий интеграл этого уравнения

Pg = C,

Я((0)

+ С2,

(4.83)

где Ci и Са - произвольные функции одной координаты v. Учитывая, что по условиям задачи решение должно быть 2я-периоди-