и поступательного перемещения ротора и статора эквивалентны 9 скалярным уравнениям в обычной форме.

Эти уравнения были выведены в предположении, что эллип-. соиды инерции кожуха и ротора являются симметричными. Обобщение их на случай несимметричных эллипсоидов инерции не вызывает принципиальных затруднений, но связано с некоторым усложнением системы уравнений.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением симметричных роторов, а несимметричность эллипсоида инерции статора будем учитывать в каждом частном случае отдельно.

Будем изучать, главным образом, газодинамические подшипники, их жесткостные свойства как в статическом, так и динамическом режимах. В связи с этим обратим внимание на то, что уравнения в форме (2.16), (2.18) удобны для изучения динамики гироскопов с учетом податливости подшипников.

Уравнения (2.16), (2.18) пригодны также для описания динамики гироскопов и машин с любыми другими опорами. В част-ности, с помощью этих уравнений можно описать динамику . машины с электромагнитными или электростатическими опорами, для чего требуется лишь выразить правые части уравнений через соответствующие реакции подшипников.

При выводе уравнений (2.16), (2.18) с целью упрощения рас смотрена машина, статор который может совершать только угловые перемещения. Однако полученные уравнения могут быть легко распространены на случай, когда статор закреплен упруго и может совершать дополнительно поступательные перемещения.

6. Линеаризация уравнений движения машины методом малых возмущений

Исследование динамики машины или гироскопа с газовыми подшипниками в общем виде представляет собой чрезвычайно сложную проблему, что обусловлено не столько большим числом степеней свободы, сколько сложностью представления реакций газовых подшипников в аналитической форме. Зависимости между перемещениями ротора и реакциями газовых подшипников определяются обычно на основании решения уравнения Рейнольдса для сжимаемой смазки.

Получение этих зависимостей в аналитическом виде в свою очередь представляет серьезную проблему, которая в настоящее время еще полностью не решена. В связи с этим весьма важное значение имеет Метод малых возмущений, который позволяет рассмотреть проблему в линейном приближении [35].

Как будет видно из последующих разделов, динамические реакции газовых подшипников в случае малых перемещений в первом приближении могут быть описаны линейными интегро-дифференциальными операторами и даже представлены передаточными функциями.

Рассмотрим предварительно дифференциальные уравнения малых движений для одноопорной машины, примером которой является сферический гироскоп.

Предположим, ч,то идеально уравновешенный ротор гироскопа установлен на неподвижной платформе и совершает установившееся вращательное движение вокруг оси фигуры, которая совпадает с осью симметрии сферических подшипников. Предположим также, что возмущающие силы и моменты равны нулю (гравитационные силы относим к возмущающим). Это состояние динамического равновесия будем называть невозмущенным.

Предположим далее, что невозмущенное срстояние динамического равновесия ротора асимптотически устойчиво в известном смысле по Ляпунову [20].

Тогда при любых достаточно малых начальных возмущениях ротор будет совершать затухающие колебания в окрестности невозмущенного состояния равновесия.

Заметим, что требование асимптотической устойчивости весьма существенно для работоспособности подшипников на газовой смазке.

Для получения уравнений малых колебаний ротора сферического гироскопа будем исходить из уравнений (2.9), (2.11).

Варьируя эти уравнения в окрестности центрального положения динамического равновесия, когда Ug = Sq = eoz = \ Zo = 1; Ко = const; Fo = Fqz = ox = or = oz = 0. получим в первом приближении:

/ /и- iKo AU= - iAS?-i Ав. ] А/С = А;

(2.19)

MAez = AFz- AFz.

(2.20)

Здесь AL, Ае, Ае, А/С - вариации соответствующих переменных; Ко = 0 - установившееся значение кинетического момента; А = Ах + iy\ AF = AFx + iAFy - вариации моментов и сил, действующих на ротор, которые определяются на основании решения краевой задачи- газовой смазки для подшипника.

Уравнения возмущенного движения (2.19), (2.20) могут быть записаны в проекциях на любые другие оси координат, например на оси Резаля Olt, (рис. И), связанные с ротором гироскопа, но не участвующие в его собственном вращении. Так как невозмущенное положение оси фигуры гироскопа совпадает с осью 0Z, а отклонения предполагаются малыми, то с точностью до членов второго порядка Малости вариации сил и моментов запишутся

так:

(2.21)

(2.22)

откуда получаем:

(2.25)

A-A + iAV (2-23)

Af A/g-l-i Af. (2.24)

В дальнейшем мы будем отличать задачи исследования устойчивости и виброустойчивости подшипников от задач, связанных с определением точности гироскопа как измерительного прибора.

В задачах первого типа влияние внешних возмущений изучается с точки зрения виброустойчивости или вибропрочности подшипников. В этих задачах главную роль играет движение ротора по отношению к кожуху. В последующих главах главным образом уделяется внимание задачам первого типа.

При исследовании малых поступательных движений ротора сферического гироскопа в газодинамических опорах удобно рассматривать уравнения (2.20) в проекциях на оси Резаля:

М Ае = Af + Af; MAej= AFj+AFs

где Af3 = Af3 + tAf в.

Можно показать, что экваториальная Af и осевая Af j составляющие вариаций сил реакций смазочного слоя в первом приближении представляются независимыми линейными функциями:

Af = /(Аг) + 0(Аг, Aej); ) A/=s = /£(Aej)-f Ог(Ае, Ае), /

где /(...), (. . . ) - некоторые линейные операторы; О (.. .), 0 (. . . ) - перекрестные связи.

Система (2.25) в линейном приближении разбивается на две подсистемы, если перекрестные связи достаточно слабые. В этом случае малые колебания ротора в экваториальной плоскости и в осевом направлении можно изучать раздельно, влияние же перекрестных связей, которыми пренебрегаем, можно оценить с помощью метода, рассмотренного ниже.

Перейдем к рассмотрению машин, роторы которых имеют ось, вращающуюся в двух подшипниках с газовой смазкой. Как и 48

в п. 4, будем рассматривать машину, как систему состоящую из двух твердых тел, ротора и статора, с общим количеством степеней свободы равным девяти.

Представим себе невозмущенное движение машины, при котором все переменные состояния остаются постоянными, за исключением циклической координаты, определяющей вращение ротора вокруг оси фигуры. Все внешние возмущающие силы и моменты, включая и гравитационную силу, будем при этом принимать равными нулю. Заметим, что силу тяжести также относим к возмущающим силам. Делается это ради того, чтобы сохранить симметричную форму уравнений.

Рассматриваемое невозмущенное движение может быть реализовано в условиях невесомости или при вертикальном расположении вала.

В состоянии динамического равновесия ось фигуры ротора будет совпадать с осью цапф. Для невозмущенного состояния переменные будут иметь следующие значения:

Lo = Loi = бо = eoz = 0; i(o== const; 7(oi = 0; Zo=l; So = So\ = Soi = Soi\ = Sb = iB = 0; f Ь = fb = f ов = 0.

(2.27)

Заметим, что 0, тогда как Ко\ = О- Это значит, что ротор вращается с постоянной угловой скоростью относительно инер-циальной Системы координат, тогда как статор остается неподвижным, хотя в общем случае он может также вращаться вокруг своей оси.

Соответствующие уравнения малых колебаний получим из уравнений (2.16)-(2.18) путем варьирования последних в окрестности невозмущенного положения динамического равновесия. При варьировании будем учитывать, что Zq = 1- В результате получим систему уравнений:

/ At) - iKotJJ = -iS - i А2з; A/C = А-еЧ-ASse , /iAl/i = -lAi -lASiB-,

AKi = ASsi-f А£,з; M Аё = Af + Af 4- Af з; M = Af g -f AFi 4- Af

(2.28)

В уравнениях (2.28) все переменные являются вариациями. В правых частях уравнений стоят силы и моменты, которые предполагаются достаточно малыми.

4 в. Н. Дроздович

в отличие от сферического гироскопа уравнения двухопорной машины в правых частях содержат моменты не только сил сопро-

тивления, но и сил реакций F и F подшипников.

Система дифференциальных уравнений (2.28) может быть разбита на группы, представляющие подсистемы. Для того чтобы это осуществить, следует в правых частях (2.28) выделить главные члены и члены, представляющие слабые перекрестные связи. Обращаясь к выражениям (2.17), заметим, что моменты St, и Si действунрщие на ротор и статор, складываются из моментов сил сопротивления и привода. При установившемся невозмущенном движении сумма этих моментов равна нулю тождественно, т. е. момент сил сопротивления уравновешивается крутящим моментом статора.

Сумма этих моментов будет оставаться малой, при малых колебаниях, и ее можно отнести к малым перекрестным связям. Одно-- временно будут малыми и проекции этих моментов на ось фигуры ротора и ось цапф, что дает нам основание принять в первом приближении AJt 0. Таким образом, 2 и 4-е уравнения системы (2.28), определяющие движение ротора и статора по циклическим координатам, в первом приближении на колебания по другим переменным влияния не оказывают. Чтобы это было верно, необходимо еще потребовать, чтобы подсистема

АК = Аг + АЕв; A/(i = Asi + As

(2.29)

была устойчива по переменным А/( и AJKi, что возможно лишь при наличии дополнительных связей, ограничивающих вращение статора вокруг его оси симметрии. В противном случае с течением времени вариации А/С и AKi могут стать настолько большими, что их влиянием на другие подсистемы уже нельзя будет пренебрегать.

Рассмотрим далее первые члены правых частей уравнений (2.17), которые выражают главные восстанавливающие моменты подшипников.

Тогда, как это видно из рис. 12, б, можно написать:

е=е + /(°-Й); е = е-Ц1\--й).

(2.30)

Первые члены правых частей выражений (2.17) можно представить следующим образом:

it X (А> - А>) = / [i {AFr,- AFr,) + л (Щ- AF0];

- 1Ш X {AF - А>) = - / [е1 (Af V - АГ;,1) + л° (Af 11 - АГ,)]. Из них с точностью до членов 2-го порядка малости получим

А = - ASi = Ag + i ASn = il (AF- AF ). (2.31)

Учитывая далее, что в первом приближении AF и AF выражаются с помощью линейного оператора через Ае и Ае (2.23), будем иметь

А = и If (Ае) - / (Ае )] = U [f (Ае -Ае )]. (2.32) Из (2.30) с точностью до членов 2-го порядка малости

(2.33)

Ае - Ае = 211 {X - Х,) + ц{¥- Y,)], откуда получаем

Ае - Ае = 21 (AU - AU,).

Подставляя (2.32) в (2.31) и учитывая (2.33), найдеМ с точностью до перекрестных связей

AS = ~AS£i = 2iPf{AU~AU,). (2.34)

Правые части последних двух уравнений системы (2.28) также можно линеаризовать.

Действительно, для тех же условий, что и выше, можно написать:

Af +AF = /(Ae 4-Ае ); Afs + Ars = fs(Ae + Ae ). Учитывая (2.30), найдем

(2.35)

Следовательно,

Ае + Ае = 2 Ае.

AF + AF = 2/ (Ае); AFi + AF = 2k{Aez).

(2.36)

(2.37)

Подставляя выражения (2.34) и (2.37) в уравнения (2.28), получим: / AU- iKo AU = 2PfiAU- AU,)--i AS,; (2.38)

A AU, = ~ 2Pf (AU - AU,) ~ i AS,.; (2.39)

M Аё=2/(Ае) +Af,; (2.40)

MAes = 2f5(Aes) + A%. (2.41)

Таким образом, с точностью до перекрестных связей наша система (2.28) оказалась представленной пятью линейными подсистемами (2.29), (2.38)-(2.41). Возможность разделения полной системы уравнений на простейшие подсистемы имеет чрезвычайно важное значение для аналитического исследования гироскопов и машин на подшипниках с газовой смазкой.

Следует отметить, что выведенные выше .уравнения малых колебаний справедливы для случая, когда в невозмущенном состоянии все внешние силы Sqb = 2oib = ов = 0. В более общем случае, когда за невозмущенное принимается смещенное

положение динамического равновесия ео ф О, т. е. в невозмущен-4* 51