Уравнение (6.23) содержит неизвестные Asi и Aej. Второе уравнение может быть получено как сопряженное. В результате будем иметь систему:

difdl

А81 +

(s)

Mleiddl

Aei = APib;

d(f dl

ddl

Ae, =APiB.

Здесь звездочка обозначает сопряженные операторы при одном и том же операционном параметре s.

Для исследования устойчивости составим характеристический определитель и приравняем его нулю

А (S, оМ) =

5С9 .

dfdl

ddl]- \ -e-ddl

\ (s)

h2 /0

= 0.

(6.24)

Для определения границы устойчивости положим s = jv и составим два уравнения:

ReA(jv, gW)} 0; Im {А (iv, с)) = 0. (6.25)

Ограничимся случаем = DIL 0. Тогда согласно (5.14)

W = W

s=iv 1 + г (V - Хо)

IF* S Г*

(У+Хо)

5=V I + (V -f Хо)

(6.26)

Рассмотрим уравнения (6.25) в предельном случае при о- +оо. Для упрощения вывода воспользуемся известным свойством угловой скорости V полускоростного вихря [54, т. 87, № 3 ]

1 V

lim -

Хо-* + со Ло

= 1.

(6.27)

отсюда будем иметь:

= lim # = 0; = Hm #* = 1. (6.28)

Учитывая все это и используя (6.24), можно получить предельное характеристическое уравнение, соответствующее Хо

Введем обозначения для асимптотических значений интегралов, входящих в (6.24):

difdl

-ф4 = 4асо;

ddl =

-ф4 +

= 4асо + s/ оо.

J J Яо

ddl +

б d> 4 = b + G .

(6.29)

Учитывая эти обозначения и подставляя в (6.24) вместо s значение ilo, получим

(4а - ШТ оо (4а - с)- Ь - b G = 0. (6.30) Квадратное уравнение (6.30) имеет два вещественных корня, порогу возникновения полускоррстного вихря отвечает наименьший корень

2(fei + < G )

= 4а< -

(6.31)

Этот корень и есть искомое асимптотическое значение критерия устойчивости, обозначенного в работе [58] через s:

ci = lims. (6.32)

С помощью (6.31) можно вычислить поправку к формулам (6.17) и (6.19). Исходя из (6.29) и принимая во внимание, что

Г = - Яо = yV+l - Но, (6.33)

получим:

(l- o)

2\3/2

4![t

boo + Goo = 4я¥

.3eg+2(l-8g)/

2-2]/-

C6.34) (6.35)

(6.36)

(6.37)

С помощью полученных выражений можно получить точную оценку вихревой жесткости в асимптотике. Легко видеть, что второй член в (6.31) является аддитивной поправкой к предельной вихревой жесткости 4а, вычисленной по формуле (6.16). Обозначая эту поправку через А , представим (6.31) в виде

1 = 4а -Д

(6.38)

. Используя полученные выше формулы, вычислим аддитивную поправку приближенно с точностью до О (ео). Для этого разложим выражения (6.33)-(6.37) в ряды по степеням 8о и отбросим члены выше четвертого порядка. В результате получим следующее выражение:

3 4 ,

>= -2- лео +

(6.39)

Главную часть критерия (6.31) можно вычислить по формулам (6.33) и (6.34)

4аоо =

4я (у - 1 + el)

7т],

(6.40)

Сопоставляя (6.40) с (6.19), замечаем, что приближенное значение критерия устойчивости (6.19) отличается от точного значения главной части 4аоо членами. О (ео). Кроме того, необходимо учитывать аддитивную поправку (6.39). Скорректированное выражение критерия устойчивости, соответствующее формуле (6.19), можно записать в виде

.2\3/2

- А

(6.41)

Таким же образом МОЖНО уточниа:ь и формулу для коэффициента вихревой жесткости в случае подшипника конечной длины {ао >

>0) ,

,243/2

- А

Во \ )& to) 1 + xg

(6.42)

Результаты вычисления асимптотических значений критерия устойчивости по формуле (6.41) и соотвегствующие данные работы Кастелли и Элрода [54, т. 87, № 1 ] приведены в табл. 2.

Из сравнения видно, что численные данные работы [54, Т а б л и ц а 2. Сравнение значений Жу т. 87, № 1 ] при больших Хо отличаются от асимптотических значений примерно на 20%, тогда как результаты вычисления по приближенной формуле (6.19) отклоняются при больших Хо от асимптотических значений приблизительно на 2 - 3%.

Выведенная выше формула (6.17) или уточненная формула (6.42) дают возможность оценить зарас устойчивости одного

цилиндрического подшипника и системы цилиндрических втулок в случае составного подшипника (см. рис. 9).

Проще всего это можно сделать в случае двух втулок при отсутствии радиальной нагрузки, когда эксцентриситет определяется только относительным смещением втулок.

При наличии нагрузки необходимо предварительно определить эксцентриситеты для каждой втулки отдельно исходя из уравнений статики.

Критерий устойчивости для цилиндрического подшипника с гладкими втулками можно представить в такой же форме как и в случае шевронного подшипника (см. п. 28). Рассмотрим критерий- устойчивости для двухвтулочного Ненагруженного подшипника. Чтобы получить выводы, аналогичные выводам п. 28, отнесем безразмерную массу к минимальному зазору Ящ

(6.43)

Здесь Ml -масса, приходящаяся на одну втулку; -длина одной втулки; h = б - ео - минимальный зазор; б - средний зазор; ео - эксцентриситет.

Число сжимаемости отнесем также к минимальному зазору 6Qj? 6nQR

Хо =

а *mln

(Vmy=Л(l-, (6.44)

PaLn

(6.45)

Здесь б не минимальный (в отличие от п. 28), а средний зазор между валом и втулкой, минимальный же зазор в данном параграфе обозначен через h и равен б -е. Учитывая сказанное, можно вывести условие устойчивости, аналогичное условию (6.4) предыдущего параграфа. Для этого надо в (6.1) подставить выражение для а из (6.42) и сделать необходимые преобразования. В результате получим

1 + ЛМ1-Т1)*

(6.46)

Здесь М -безразмерная масса, определенная в (6.4); Л о и Bq зависят от 00. Л и т) и определяются согласно формулам:

Л = Ре); Во=1т{},

где -определено в п. 16 (приложение 2).

Для длинного подшипника, когда для каждой втулки = = D/L < 1, можно положить Ло I; 5о 0. Тогда из (6.46) получается условие устойчивости

М<М =

(6.46)

Исходя из условий (6.46) или (6.46), можно произвести исследование устойчивости машины (гироскопа) по заданным параметрам и изучить влияние каждого параметра на запас устойчивости; в частности, можно рассмотреть вопрос об оптимизации при некоторых ограничениях 158]..

В качестве критерия оптимальности здесь следует принять максимум запаса устойчивости при ограничениях, накладываемых на минимальный зазор /г и прочие параметры. В качестве варьируемого параметра удобно взять величину т) = hJ8, при hi = = const, тогда оптимизация будет сводиться к определению экстремума правой части выражения (6.46). Для случая длинного подшипника Оо <С 1 и малых Л оптимальное значение т) можно найти, исследуя на максимум коэффициент

-f, . (6.47)

Дифференцируя это выражение и составляя необходимое условие экстремума, получим квадратное уравнение

= 0.

Отсюда находим искомое оптимальное значение

Tjopt 0,32.

(6.48)

(6.49)

Следует заметить, что этот результат получен при сильных ограничениях. В общем случае T)opt зависит от Л и с его увеличением растет, кроме того, на величину T)opt оказывает влияние торцевая утечка.

Если утечку не учитывать О, то из (6.46) можно уста-

новить, что:

limriopt (Л) = 1. (6.50)

Таким образом, в зависимости от Л оптимальное т) может принимать различные значения в промежутке от 0,31 до 1.

На основании вышеизложенного можно сделать следующие предварительные выводы.

1. Оценка вихревой жесткости по формуле (6.17) или критерия устойчивости аМ, по формуле (6.19) придостаточнобольших числах сжимаемости Хо лучше согласуется с асимптотической оценкой, чем результаты численных расчетов Кастелли и Элрода [54, т. 87, № 1].

2. Допущение о близости орбиты вихревого движения на границе устойчивости к круговой оправдывается, по крайней мере, в асимптотике при больших значениях Хо- Вместе с тем оправдывается приближенный метод расчета вихревой жесткости на базе решения РЯ-линеаризованной краевой задачи газовой смазки с учетом второго приближения.

3. Формула (6.17) применима как для одного цилиндрического подшипника, так и для системы цилиндрических втулок, смещенных эксцентрично относительно друг друга и имеющих между собой вентилируемые проточки. Вихревая жесткость такого составного подшипника найдется как сумма вихревых жесткостей его частей.

30. Вихревая жесткость цилиндрических подшипников с синусоидальным профилем

Результаты, изложенные в предыдущем параграфе, можно распространить на многолепестковые цилиндрические подшипники с синусоидальным профилем [46, т. 91, №1]. Частным случаем таких подшипников является эллипсный подшипник.

Методика вывода формулы для коэффициента вихревой жесткости а остается такой же, как и в п. 29, необходимо лишь в (6.16) подставить соответствующие значения величин У, Aq и Яо. 0 = 01 + Afl для многолепесткового подшипника можно получить из (4.43), если положить р = О и отбросить первые два члена, представляющие собой Яо-

В результате получим

. Го =.Го1 + Ао = т] Re\f e- } + (Rc {/ } - fnl) , (6.51) где / при любом п определяется по (4.34).