где Gji = Gjf {p, el, вц, eg); j, k = \, 2, 3 - передаточные функции, зависящие от трех скалярных параметров и параметра преобразования Лапласа р. Можно показать, что все передаточные функции являются рациональными дробями с полюсами, расположенными в левой полуплоскости р.

Условимся для случая несмещенного положения равновесия, когда el = e = el = 0, вариации записывать без значка А, так как в этом случае все переменные сами являются вариациями.

Для несмещенного положения равновесия формулы (2.48) упрощаются и принимают вид:

5 = - Giiej -Gje; Gjg = 0;

f = -G,

Ga3 = 0;

(2.49)

ti - -21 ! - Gajg; = - Ggset,; G31 = Gga = 0. Из (2.48) следует, что при колебаниях в окрестности смещенного положения равновесия {е, Ф 0) имеют место линейные перекрестные связи, которые можно считать слабыми только при достаточно малом ео.

Все вышеизложенное справедливо и для моментов Sn и с той лишь разницей, что их вариации для несмещенного положения равновесия относительно е, е и е будут представляться уже членами второго порядка малости.

Таким образом, подсистемы не содержат линейных перекрестных связей только в случае центрального положения динамиче-

->

ского равновесия, когда во = 0.

Это свойство ненагруженных подшипников удобно использовать и при исследовании нагруженных. Применяя методы тео- рии возмущений, можно в первом приближении пренебречь пере-

крестными связями и в случае ео ф О, но при этом следует оценивать их влияние на устойчивость.

Идея метода оценки основана на принципе аргумента теории функций комплексного переменного, упомянутого выше.

Представим себе связанную линейную систему, в состав которой могут входить подсистемы как с вещественными, так и.комплексными переменными состояния.

Предположим, что в результате последовательного применения к дифференциальным уравнениям этой системы преобразования Лапласа и формул Крамера мы разрешили их относительно одной из переменных состояния

(2.50)

Здесь и - изображения по Лапласу /г-й переменной состояния и /-Й возмущающей силы соответственно; р - параметр 58

преобразования Лапласа по времени t; R (р, i); Gj (р, i) ~ рациональные функции комплексного переменного р, имеющие вид:

где А (р, О . Q (р. 0; Pjk (р. О. Qik (р. О - многочлены с комплексными коэффициентами; Q (р, /) - многочлен, равный наименьшему общему кратному многочленов Q/ (р, О-

Предположим далее, что все нули функций (р, i) располагаются в левой полуплоскости комплексного переменного р. Представим рациональную функцию R (р, () в виде суммы:

Rip,i)R,(p,i) + Sip,i), ,(2.52)

где Ro{p,i) - функция, соответствующая несвязанной системе; S (р, () - функция влияния перекрестных связей. Относительно функции влияния 5 (р, i) предполагается, что она так же, как и функция Ro {р< О регулярна в бесконечности и все ее полюсы лежат в левой полуплоскости р.

Таким образом, устойчивость связанной системы определяется расположением в плоскости комплексного переменного р нулей характеристического мнОгочлена или нулей функции R (р, i). Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все нули функции R (р, i) располагались слева от мнимой оси.

Поставим теперь задачу найти условия, при выполнении которых из устойчивости подсистем в несвязанной системе следует устойчивость связанной системы. Другими словами, требуется найти условия, накладываемые на функцию влияния S (р, i), при выполнении которых все нули функции R (р, () располагаются в левой полуплоскости р, если там расположены все, нули

функции Ro (р, О-

Ответ на вопрос, поставленный в задаче, может быть найден на основе следующей теоремы.

Теорема. Если все нули No и полюсы Ро функции Rg (р, i) и все полюсы функции 5 (р, i) лежат в левой полуплоскости комплексного переменного р и если на контуре С = С+ + С (рис. 13, а) выполняется условие

\Ro(pJ)\>\SiP, 01.

(2.53)

то все нули функции Ro {Р, i) + S (р, t) будут также лежать в левой полуплоскости р.

Доказательство. Эта теорема доказывается на основе принципа аргумента так же, как известная теорема Руше для целых функций. Если принять за область D всю правую полуплоскость комплексного переменного р, ограниченную кривой

с - с* + с- (рис. 13, а), то представив функцию Rip, г) + + с> (р, i) в виде

RoipJ) + Sip,i) = R (p,i)\l +А(£Ц)

0 {Р, о J

найдем

Arg [R (р, i) + 5 {р, i)] = Arg R, ip, i) + Arg Г1 + рРЯ ,

(2.54)

. (2.55)

При об.ходе контура С, когда р принимает значения, соответ-ствующие точкам этого контура, приращение Arg 1 + /. в силу условия теоремы будет равно нулю, так как при функции \S {p,i)/Ro {р, t)\ <1 соответствующий вектор не делает ни одного оборота вокруг начала координат, отсюда на основании принципа аргумента и условий теоремы получаем

(2.56)

Так как все полюсы функций Ro {р, О и S (р, t) лежат в левой полуплоскости р по условию теоремы, а полюсы суммы Ro (р, 0 + + 5 (р, г) не содержат значений, не совпадающих с полюсами функций Rtf (р, i) и S (р, i), то Р- число полюсов суммы(p,t)+ + S (р, i), лежащих в правой полуплоскости, - равно нулю. Из (2.56) получаем

= О, (2.57)

что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы вытекает ответ на вопрос о влиянии перекрестных связей на устойчивость взаимодействующих между собой подсистем.

В самом деле, если известно, что подсистемы при отсутствии перекрестных связей устойчивы асимптотически, то при достаточно слабых перекрестных связях, когда функция влияния удовлетворяет условию /?о(ш, i) \ < S (ico, t)! Дя всех со - (-оо, +оо), связанная система будет также устойчива асимптотически.

В качестве примера рассмотрим сферический гироскоп на газодинамических опорах с профилированной поверхностью, когда положение динамического равновесия смещено вдоль оси фигуры otto- Уравнения малых поступательных колебаний гироскопа в окрестности положения равновесия на основании выражений (2.48) могут быть записаны в следующем приведенном виде:

Мр Ае = - Ае - (1 + i) Gi3 Ае. + Мр- Аег = - G33 Де - J- (1 - i) Ае ~

-4-(1+0 G3iAe*-f4.

(2.58)

Здесь М - масса ротора; Ае = Ае + iAe - изображение ПО Лапласу комплексного смещения центра масс в экваториальной плоскости; Ае* - комплексно сопряженное с Ае; Ае - изображение по Лапласу осевого смещения из положения равновесия;

= Gjii + Сц - комплексная передаточная функция; G33- вещественная передаточная функция; Gi. G31 - передаточные функции перекрестных связей.

Передаточные функции G13 и G31 зависят от смещения е как параметра и обращаются в нуль при е, = 0.

К уравнениям (2.58) необходимо еще присоединить сопряженное уравнение

- /) G31 Ае + f

(2.59)

Мр Ае. = -G33 Де--Г + G31 Ае* - -g (1

Рассматривая (2.58) и (2.59) как систему линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными Ае, Ае* и Ае, можно свести ее к системе двух уравнений относительно Ае и Ае*.

Определитель последней будет иметь следующий вид:

G13G31 (А + A*) - 2GhGl]], (2.60)

(Р-0-о(р,0(1-ц. где ч

Ro,i) = A(p,i}A*ip,i); А (р, /) -ММр + Gil (р, i)] [Мр + G33 (р)]; (2.61)

Л*(р,0 = Л(р,-0. J

Допустим, что передаточные функции Оц (р, i); G13 (р); G31 (р); G33 (р) не имеют полюсов в правой полуплоскости комплексного переменного р. Кроме того, если подсистемы устойчивы при отсутствии перекрестных связей, то все нули функции Ro (р, i) будут лежать в левой полуплоскости р. Поэтому, чтобы перекрестные связи не нарушали асимптотической устойчивости, достаточно выполнить условие (2.53) теоремы.

Так как все нули и полюсы функции Ro (р, О лежат в левой полуплоскости р, то для точек мнимой оси существует такое L ф О, что Л(1со, 01 > и Л(ш, -jl >-L. Кроме того, в силу свойств передаточных функций G13 и G31, для любого е > О можно указать такое что

Gi3(fto)<e; G3i(i(u)<e, (2.62)

как только ео < т-Тогда получаем оценку

G13G31 (A + A*)-2Gl,GhGli QQ I ( L 4-

1 GhGli I

\А] \ А*

<

<

- 4- -7>

(2.63) 61

Величину L в неравенстве (2.63) можно рассматривать как величину запаса устойчивости. несвязанных подсистем. В част-Ности, если подсистема находится на границе области устойчивости и запас устойчивости нулевой, из (2.61) следует, что L = 0.

Таким образом, из оценки (2.63) и условия теоремы (2.53) следует, что при достаточно малом статическом смещении (малое е) и большом запасе устойчивости подсистем (большое L) из асимптотической устойчивости несвязанных подсистем следует устойчивость всей связанной системы.

Необходимо помнить, что в общем случае перекрестные связи могут как уменьшать, так и увеличивать запас устойчивости всей системы.

ГЛАВА И1 .

УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ СМАЗКИ ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

9. Основные предпосылки к постановке краевых задач для газодинамических подшипников скольжения

Целью, преследуемой в данной главе, является постановка краевых задач для нестационарного течения сжимаемой смазки между движущимися относительно друг друга несущими поверхностями подшипников различной конфигурации. В этой главе обсуждаются также известные методы решения краевых задач газовой смазки и выбирается методика, которая принимается в качестве основной- для дальнейшего анализа.

Рассмотрим современные взгляды на традиционные физические допущения классической теории смазочного слоя, начало которой было положено работами Н. П. Петрова и О. Рейнольдса, относя-/ щнмися к 80-м годам прошлого столетия [6], и которая была обобщена на случай сжимаемой (газовой) смазки в 50-х годах нашего века. Хотя в последнее время в теоретических исследованиях по гидродинамическим и газовым опорам все чаще наблюдается не всегда оправданный отход от этих классических допущений, тем не менее и сейчас большинство новых работ в этой области продолжает опираться на них, и если даже они специально не оговариваются, то обычно подразумеваются.

Приведем краткую формулировку этих допущений, расположив их в таком порядке, чтобы каждое последующее допущение имело более частный характер, чем предыдущие, охватывая в то же время наиболее типичные задачи, которые составляют основной предмет гидрогазодинамической теории смазки:

1) смазочное вещество может рассматриваться как сплошная среда;

2) динамический коэффициент вязкости смазки не зависит от давления;

3) режим течения в смазочном слое является ламинарным;

4) тепловой режим в смазочном слое можно считать изотермическим;

5) силами инерции смазки можно пренебречь.

Первое допущение позволяет отвлечься от того факта, что любая среда, в конечном счете, состоит из дискретных частиц, и ввести понятие бесконечно малого объема жидкости (газа), оправдывая тем самым использование эффективного математического аппарата механики сплошных сред - дифференциальных уравнений в частных производных, в которых независимыми переменными являются пространственные координаты (и, вообще говоря, время). Различные сплошные среды, изутаемые гидро-аэродина.микой, реологией [31], теорией упругости и пластичности, характеризуются тем или иным законом связи между внутренними напряжениями и соответствующими деформациями элементарных объемов. Гндроаэродинамика имеет дело с так называемыми ньютоновскими средами, Для которых тензор напряжений линейным образом связан с тензором скоростей деформации [31], причем эта связь осуществляется через динамический коэффициент вязкости; последний не может зависеть от компонент упомянутых тензоров в силу линейного характера связи между этими тензорами. Именно отсюда следует второе из сформулированных выше пяти допущений гидрогазодинамической теории смазки: поскольку давление обычно трактуется как среднее арифметическое диагональных компонент тензора напряжений, то динамическая вязкость ньютоновских сред не может зависеть и от давления.

Третье допущение надо понимать в том смысле, что из двух основных режимов течения жидкостей и газов - ламинарного и турбулентного - более характерным для тонких смазочных зазоров реальных подшипников является ламинарный режим. Ламинарные течения, в отличие от турбулентных, допускают более строгий математический анализ, не связанный с применением полуэмпирических или статистических методов, опирающийся на известные уравнения Навье-Стокса [31 ]. Эти уравнения динамики вязких ламинарных потоков составляют в общем случае единую систему с уравнением сплошности и уравнением баланса энергии. Однако допущение об изотермичности потока (четвертое допущение) позволяет исключить последнее уравнение из упомянутой системы. Наконец, пятое допущение позволяет значительно упростить уравнения Навье-Стокса, исключив из них инерционные члены. Следует подчеркнуть, что именно это последнее допущение представляется наиболее характерным для гндрогазо-динамической теории смазки, которую часто определяют как теорию медленных (безынерционных) течений жидкостей и газов в тонких зазорах. Заметим, что в потоках смазки, кроме сил инер-