Интегрируя полученное выражение по всей несущей поверхности упорной площади Sy, будем иметь

i)yn = - 2ipa J J ;.2 дРуе.Ф dr. (5.88)

(*уп)

Знак минус.в формуле (5.88) соответствует случаю обращенного движения ротора гироскопа катушечного типа.

Для вычисления вариации ЛРу в нестационарном случае сле- дует исходить из уравнения Рейнольдса (3.22). Величина R в уравнении (3.22) играет роль нормы и ее можно выбрать произвольно. Удобно принять R = г , где Га - внешний радиус упорной пластины ротора (см. рис. 23). В этом случае будем имегь:

(5.89)

а уравнение (3.22) и граничные условия запишутся в виде:

(5.90) (5.91)

/ 2 д (HP)

г2 ат

Граничные условия (5.91) здесь записаны для вентилируемого упорного > подшипника.

К решению задачи (5.90), (5.91) можно также применить обобщенный метод РЯ-линеаризации, причем все выводы будут проводиться аналогично тому, как это было сделано для цилиндрического подшипника. Например, уравнение для функции тр = = ЯР в первом приближении будет аналогично (3.48) или (3.52)

г {Ъ);, + г(г (¥,);); т,=Яфф + г(гя;);.(5.92)

Функция зазора Я при учете симметричных угловых перемещений в первом приближении запишется аналогично (5.20)

ТТТ( =05ф + рSinф) + щ(ф, Q, (5.93)

а ее вариация в комплексной форме будет иметь вид, аналогичный (5.21),

(5.94)

Легко показать, что и уравнение для комплексной вариации в изображениях Лапласа, аналогичное уравнению (5.22), может быть 142

получено из (5.92). Ё данном случае оно будет иметь виД:

-гАЖ~8~ АЖ =

rl (б + Е)

(%-s) (а + ФУ

АЖ/гг = АЖг=г = 0; АЖ/ = АЖ/+2л.

(5.95) (5.96)

Решение задачи (5.95), (5.96) можно искать в виде, аналогичном (5.23),

АЖ = W (S, г, i) е-ф (а + ф). (5.97)

Подставляя (5.97) в (5.95), получим уравнение для функции W (s, г, i), решение которого представляется в бесселевых функциях.

Для выяснения влияния упорных подшипников на запас устойчивости подсистемы угловых колебаний ротора нет необходимости производить окончательное вычисление вариации АЖ. Действительно, на пороге устойчивости при s = tXo вариация обращается в нуль, что видно из (5.95). В силу этого установившийся момент сил реакции смазочной пленки двух упорных подшипников при симметричных конических колебаниях ротора на частоте полускоростного вихря запишется в следующем виде:

{S i)yn - = -2ipa

2ipa J J ДРупб* йф dr =

(уп) (о)уп

(5.98)

где (АЯ)уп - вариация функции зазора при конических колебаниях; (Яо)уп - невозмущенная функция зазора; тильда обозначает установившийся периодический режим с частотой полускоростного вихря; Ж о - комплексная функция, представляющая решение задачи статики для невозмущенного течения смазки в первом приближении по методу РЯ-линеаризации.

Учитывая, что {Жо)уп = (о - о)уп = [(Ро)уп - 1] Яо, перепишем (5.98) в следующем виде:

(ii)y,=-2ip

(Ро)уп-±

(уп)

(Яо)уп

(ЛЯ)у,фйг. (5.98)

Заметим теперь, что момент сил реакции радиального подшипника, который мы здесь обозначим через (1)рад. при тех же условиях в силу (5.31) запишется так:

{Sr\.=-iPaR

(Ро)

Рад

(рад)

(Я )

о)раД

(ЛЯ)рздФ (5.99)

Заметим, что в такой форме уравнения (5.98) и (5.99) пригодны для любого числа п канавок.

Результирующий момент, обуслорленный угловыми колебаниями вала машины катушечного типа,-найдется как сумма моментов (ii)y -f (f i)p,.

Учитывая, что структура вариаций (ДЯ)уп и (ДЯ)рад одинакова, можно сделать вывод, что упорные подшипники увеличивают запас устойчивости подсистемы угловых колебаний.

Все вышесказанное справедливо в первом приближении. Но если ввести поправку по методике, применявшейся нами в ij. 28, то получим практические формулы для вычисления запаса ycfoй-чивости, вносимого упорными подшипниками.

Когда колебания симметричны, полагая а -f гР = реХот где р - угловая амплетуда полускоростного вихря, представим вариации зазоров (ДЯ)у и (ДЯ)рад в виде:

(ДЯ)рад = -

- р (е ( оТ-ф) g-l (ХоТ-ф));

4(б + £)

(ДЯ)у = - ~2lfj р{e (Хо8-Ф) e- (Хов-ф)).

(5.100)

Предполагая далее, что число канавок на несущих поверхностях как упорных, так и радиальных подшипников > 3, получим из (5.98) и (5.99):

(о)р

1аД

(Рад)

(Но)

myn-i бу + £у

ХоТ

(5.101)

Учитывая выражение для а в условии устойчивости (5.49) и обобщая последнее на случай влияния упорных подшипников, получим его в виде:

(брад-Ьрад) (-4--/о) ,

(рад) б Рад 4- £рад

( о)рад

(5.102)

(5.103)

буп+£

-уП

Коэффициент а учитывает вклад пары упорных подшипников в общий запас устойчивости подсистемы угловых колебаний;

(Ро)рад и (Ро)уп вычисляются НЗ ОСНОВЗНИИ рСШСНИЙ крЭСВЫХ

задач статики для центрального динамического положения равновесия ротора. Статические решения могут быть получены на 144

основе как обобщенного метода РЯ-линеаризации, так и любым другим способом. Наиболее просто интегралы в (5.103) и (5.104) вычисляются для ненагруженных подшипников со спиральными и шевронными канавками. В этом случае (Ро)рад и (Ро)уп могут быть определены как средние асимптотические распределения давлений (tM. гл. IV).

ГЛАВА VI

ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА И НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ГЛАДКИХ И ПРОФИЛИРОВАННЫХ ПОДШИПНИКОВ

Рассмотрим использование теоретических результатов предыдущих глав к решению некоторых задач, наиболее важной из которых является определение вихревой жесткости профилированного радиального подшипника. Эта задача является ключевой при paq4eTe и проектировании машин, работающих в условиях инерционных перегрузок.

28. Вычисление вихревой жесткости цилиндрического подшипника с шевронными канавками-

, Результаты теоретических исследований, проведенных в гл. V, показали, что мерой запаса устойчивости самогенерирующихся подшипников служит величина интеграла в (5.39) или (5.83). Эту величину мы условились называть вихревой жесткостью.

При проектировании машин (гироскопов), предназначенных для работы в условиях невесомости или переменных инерционных перегрузок, основным требованием, предъявляемым к газодинамическим подшипникам, является динамическая устойчивость равновесного режима вращения ротора. Очевидно, что при прочих равных условиях устойчивость будет тем быше, чем больше вихревая жесткость поэтому она может служить в качестве критерия оптимальности и при расчете параметров должна делаться максимальной. Другими словами, оптимизация параметров самогенерирующихся подшипников должна производиться по критерию максимума вихревой жесткости.

Полученные результаты позволяют произвести расчет вихревой жесткости радиального подшипника с любым периодическим профилем, но здесь мы подробно рассмотрим только шевронный подшипник со спиральными канавками прямоугольного профиля. Сопоставим результаты расчетов с экспериментальными данными Каннингема, Флеминга, Андерсена [48, т. 91,№1]. Будем исходить из условия устойчивости (5.39), которое представим в виде

+1 2я

MiQ2 (а+£)

PaRL

< 4а = dt,

п (Ф. е)

dif.

(6.1)

где Yq = Re [Жо] ~ ~ 1) Яо -функция распределения давления в стационарном режиме при нулевом эксцентриситете.

Рассмотрим цилиндрический подшипник с шевронными канавками, имеющ,ими прямоугольный профиль (см. рис. 22), протяженность канавок и выступов в направлении скольжения примем одинаковой, как это имело место в указанных экспериментах. Подшипник имеет две зоны нагнетания длиной LJ2 каждая, разделенные гладким пояском. Предполагая число канавок п достаточно большим, будем исходить из асимптотического решения (4.98).

В силу симметрии рассмотрим половину подшипника. Согласно (4.98) при выполнении условия (4.96) будем иметь

р lylk{i-U 0<11,;

Я \k{l-l), l,<ll,

отсюда, используя (6.1), найдем коэффициент вихревой жесткости а длз одного подшипника

J (l-ydS + J(l QdS

(6.2)

(3 + Tl)XoSin 2а

2%[{\ +3T)2)2cos2a+ (1 - T]2)3sin2a]

(6.3)

Учитывая (6.2) и (6.3), приведем условие (6.1) к форме, удобной для сопоставления.

(6.4)

Здесь

Т1(1 -Ti)(3 4- т]) sin 2а

(1-f 11) [(1 4-3Ti2)2cos2a+ (1 -rj2)3sin2a] ( )

(6.6)

Обозначение Л дано по [46, т! 91, № 1], где б - минимальный зазор.

В левой части неравенства (6.4) стоит безразмерный комплекс Ж, который в работе Каннингема и др. [46, т. 91, № 1] называется безразмерной массой.

Правая часть в (6.4) представлена аналитически через безразмерные параметры Л, а, г\ и угол наклона канавок а.

Напомним, что условие (6.4) выведено на основании асимптотического решения краевой задачи для шевронного подшипника, которое справедливо при выполнении условий (4.69). Эти условия в данном случае перепишутся в виде:

Л =

(1 - Ti)2cos2a - ,г

(6.7)

Результаты п. 18 позволяют оценить погрешность аппроксимации точного решения принятым здесь асимптотическим решением Уиппла. Погрешность можно учесть поправочным коэффициентом

(6.8)

14--i (l T)) -A2 cos* а

который получается, если предположить, что интегральные характеристики (несущая способность, вихревая жесткость и т. д.) для подшипников с прямоугольным и синусоидальным профилем приблизительно подобны (см. гл. IV).

Таким образом, правая часть условия устойчивости (6.4), представляющая критическую безразмерную массу, убывает с увеличением параметра Л, вначале как Л !, а затем как Л з

knfi (Ц, а)

о-рА

l4--(l-Ti)*A2 cos a

(6.9)

Графическое изображение функции (6.9) в плоскости параметров Л и М будет определять границу области устойчивости, причем в области устойчивости должно выполняться условие М < < М,.

В соответствии с выражениями (6.4) и (6.5) на рис. 30 построены границы областей устойчивости в плоскости параметров СТдА! и Л. Эти границы позволяют произвести сопоставление с данными экспериментов Каннингема и др. С этой целью расчитан коэффициент запаса устойчивости для пяти роторов, рассмотренных в указанной работе [46, т. 91, № 1], отличающихся лишь параметрами канавок, приводимых в табл. 1.

На рис. 30 прямая 1 соответствует границе устойчивости, рассчитанной для оптимальных параметров: rjopt == 0,45; aopt = = 66°; Si =!,(/. = Li), вычисленным по теоретическим формулам; прямая 3 - границе устойчивости для параметров: т) = = 0,31; а = 55°; Si = 0,6, имеющих место в экспериментах Каннингема и др. (табл. 1), прямая 2 -границе устойчивости для параметров: ц = 0,31; aopt = 66°, Si = 1- Пунктирные кривые соответствуют расчету границы устойчивости по методу узких канавок. На этом же рисунке нанесены точки, полученные из данных испытаний пяти роторов, табл. 1.